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解个二次方程有多难?来看看这位教授的“惊人”技巧

作者: 学术头条

时间: 2020-05-04 10:37

二次方程式困扰了数学学生数千年,你还在寻找ax²+bx+c=0的答案吗?

近日,来自卡内基梅隆大学的一位数学教授 Po-Shen Loh 想出了一个更好的数学技巧来解二次方程,该方法与几千年前巴比伦人的思想不谋而合。

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Loh 博士是美国奥数队的教练,为美国一些顶尖的高中数学学生提供指导,但他也想改善所有数学学生的教学。几个月前,Loh 博士在网上发表了一篇论文,向其他人分享了关于求解二次方程的方法,瞬间得到老师们的亲睐。

该方法包括两个主要步骤,从二次方程式的标准形式 x²+bx+c=0 入手。

  • 对于多项因式分解,首先需要找到两个值,如果他们能以某种形式表达 -b 和 c,那么他们就是方程完整的解。
  • 无论在什么情况下,使用古老的巴比伦/希腊技巧(扩展为复数)都可以找到这两个值,即使解是非实复数也能求出。

论文地址:https://www.poshenloh.com/quadraticdetail/

与我们息息相关的二次方程

初等代数课程中引入的二次方程,经常出现在物理学和工程学中轨迹的计算中,甚至在体育运动中也会出现。如果你在看超级碗比赛时,想要估算帕特里克·马霍姆斯(Patrick Mahomes)传球的距离,你就得解一个二次方程。这些公式也出现在利润最大化的计算中,这对任何想在商业上成功的人来说都是一个重要的考虑因素。

二次方程与抛物线

首先快速回顾下二次方程和抛物线。抛物线是一条对称的曲线,它可以描述抛射物的路径,就像扔出去的足球,或者悬索桥的曲线。抛物线的定义与方程 y = x² 的变化有关。

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抛物线的一个更一般的方程是二次函数:y=ax²+bx+c(a 可以改变曲线的宽度,b 可以让对称轴向左或右移动,而 c 可以将曲线向上或向下滑动)

令方程式的 y=0,可以得到抛物线与 x 轴交叉的两个点,即是方程的解。

以一个二次方程 x²-4x-5=0 作为例子,其中 a = 1,将二次方程用 r 和 s 来表示:

x²–4x–5 = (x–r)(x–s)=x2-(r+s)x+rs = 0

这里关键是要找到 r 和 s 使得r和s的和等于 4(即 r + s = 4), r 和 s 相乘得到 5 (rs = 5)。如果它们存在,那么 r 和 s 是两个且仅有两个解。

一般到了这一步求解 r 和 s 是采用猜测的方法来反复验证。但对于较大数字的二次方程,猜测也变得很麻烦,而且它只适用于那些设计成整数答案的问题。Loh 博士的方法则消除了这种猜谜游戏。

新方法是如何进行运算的?

新方法建立在抛物线对称的基础上。在此抛物线中:

y=x²-4x-5

y=0 时的两个解是对称点 r 和 s,其中抛物线与 x 轴相交。r 和 s 的中点或平均值是抛物线的对称轴。因此 r + s = -b,r 和 b 的平均值为 -b/2。在此例子中 r 和 b 的平均值为 4/2 = 2,因此二次方程的两个解可以用加上或减去一个未知量 u 来表示:

r=2–u 和 s=2+u

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又因为 r 和 s 相乘等于 c,在本例中 c = -5,用 u 来表示 r 和 s:

r×s = -5

(2–u)×(2 + u) = -5

于是可以得到 22-u²=5 或 u²=9,所以u=3。

该二次方程式的两个解是 2–u 和 2+u,即 –1 和 5。换句话说,当 x=–1 和 x=5 时,该抛物线与 x 轴相交。

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面对不易分解的方程式,又如何求解呢?

这种方法也适用于不容易分解的方程式,但是一般情况下,学生会采用下面这种复杂的公式来解,但是他们又经常记错这个公式。

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而 Loh 博士的方法使学生无需记住确切的公式即可计算出答案。Loh 博士说,数学不是毫无意义地背诵公式,而是学习如何通过精确的表述来进行逻辑推理。

这里以 x²/2 - 2x + 3 = 0 为例子,首先将两边乘以 2,得到:

x² - 4x + 6 = 0

根据前面的分析,分解成(x-r)(x-s)的形式,可以得到:

r + s = 4, rs = 6

r 和 s 的平均值为 2,用 u 来分别表示 r 和 s,即分别为 2+u 和 2-u,于是:

(2–u)×(2 + u)=6

可解得 u²=-2,用复数来求解 u,u 即为 i 乘以根号 2。将 u 的值代入两个解中,即可求解。

新方法与古老方法的渊源

其实早在几千年前,巴比伦人和希腊人就发现了这种新方法,但他们的理解有限,而且他们的数学仅限于正数,直到后来,人们才提出了负数、零的概念,甚至更深奥的概念,如虚数,负数的平方根等。

有趣的是,Loh 博士还发现 30 年前,加拿大萨德伯里(Sudbury)的数学老师约翰•萨维奇(John Savage)也提出过类似的方法。萨维奇在《数学教师》杂志上发表的一篇文章也阐述了几乎相同的过程,不过 Loh 博士在解释过程中加入了一些逻辑上的细节内容。

古老方法与现代方法的融合,见证了古老的智慧,未来需要更多像 Loh 博士这样深研于数学历史的学者,用古老的简便方法解决问题,并进行推广,为广大老师和学生提供帮助。

参考链接:

https://www.nytimes.com/2020/02/05/science/quadratic-equations-algebra.html

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