Neste artigo, exploramos três resultados clássicos da geometria euclidiana: o Teorema de Viviani, o Ponto de Fermat e o Teorema de Napoleão. Para cada um, apresentamos demonstrações e discutimos suas aplicações na resolução de problemas de olimpíadas e competições de matemática. Como recurso visual, utilizamos figuras elaboradas em TikZ (\LaTeX) e animações desenvolvidas com a biblioteca Manim em Python, visando facilitar a compreensão dos teoremas e problemas abordados.
Este texto apresenta três modelos muito usados em epidemiologia: o modelo SIS, o modelo SIR e um modelo para a transmissão da toxoplasmose em gatos. O objetivo é fazer uma iniciação ao tema da epidemiologia matemática, ilustrando três abordagens muito usadas em equações diferenciais: resolução explícita, análise qualitativa e experimentação numérica. A metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica, que possibilitou apresentarmos: a resolução explícita do modelo SIS, identificando condições para a persistência ou extinção da doença; uma análise qualitativa do modelo SIR, revelando o comportamento típico de surtos epidêmicos; e algumas experimentações numéricas para o modelo da toxoplasmose, destacando a influência de diferentes parâmetros na dinâmica de transmissão. Diante da importância do assunto e do grau de detalhamento da exposição, acreditamos que o presente texto proporciona uma leitura útil a estudantes que estão iniciando na temática da epidemiologia e/ou da análise de equações diferenciais.
Este artigo apresenta a fórmula fundamental para a soma dos divisores positivos de um número inteiro e a aplica na classificação de números em perfeitos, abundantes ou deficientes. Deduzimos propriedades específicas sobre esses números que permitem a identificação do menor número abundante ímpar por meio de argumentos puramente teóricos, eliminando a necessidade de buscas computacionais exaustivas. Além disso, ao empregar um computador para classificar os primeiros 600.000 inteiros, fornecemos dados empíricos que destacam a raridade dos números abundantes ímpares e corroboram teoremas de densidade estabelecidos na literatura.
Este artigo investiga os números multifigurados quadrados-nonagonais, uma classe de números figurados que pertencem simultaneamente aos números figurados quadrados e nonagonais. Inicialmente, são apresentadas a fórmula de recorrência, a função geradora e a expressão do termo geral da sequência. Em seguida, estuda-se o processo de complexificação por meio da introdução de unidades imaginárias, o que permite generalizações para dimensões superiores. São discutidas as relações bidimensional, tridimensional e, por fim, t-dimensional, destacando como tais extensões ampliam as propriedades estruturais desses números e abrem perspectivas para o estudo de outras sequências de números multifigurados.
Certo dia, numa discussão no aplicativo Discord, um dos integrantes anexou um link de uma entrevista com o professor Carlos Pereira de Novaes, da UEFS, na qual ele afirma ter desenvolvido uma nova álgebra, chamada “álgebra pseudo-real”, em que os números complexos não existem. Ainda no prefácio do livro em que expõe suas ideias, o professor de Novaes questiona o limite limₓ→∞ (1 + 1/x)ˣ, afirmando que seu valor deveria ser 1, e não e = 2,71828. Neste artigo, proponho-me a responder ao seu questionamento e explicar o motivo da discrepância entre os resultados numéricos apresentados no cálculo da expressão para valores grandes de x e o valor teórico e.
Este trabalho tem como objetivo apresentar demonstrações completas para as identidades envolvendo as sequências de Fibonacci e de Lucas listadas por Hoggatt no capítulo 10 de Fibonacci and Lucas Numbers. Nesse capítulo, o autor enuncia 47 identidades relacionadas aos números de Fibonacci e de Lucas, mas apenas as 12 primeiras são acompanhadas de prova, enquanto as demais aparecem sem justificativa. Motivado por essa lacuna, este estudo desenvolve e organiza demonstrações rigorosas para todas essas identidades, apresentando-as de maneira clara e sistemática. Trata-se de um trabalho elaborado no contexto de um projeto de Iniciação Científica, desenvolvido por estudantes sob orientação docente.
Fixados dois coeficientes reais e variando-se o coeficiente real remanescente da função quadrática obtém-se o modelo dos caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano complexo (Yamaoka (2023)). Um estilo é um conjunto de modelos que têm relações entre si e compartilham o mesmo molde - estrutura- (exceto o estilo 4 oriundo de fₐ(z) = az², 𝑎 ∈ R∗, constituído de único modelo). Determinamos o número de componentes conexas do caminho de cada raiz por modelo. Determinamos as componentes conexas de cada molde. Damos exemplos dos moldes. Discutimos a continuidade e a diferenciabilidade das duas raízes: elas são contínuas em seus domínios e as raízes simples são infinitamente diferenciáveis (com exceção da raiz dupla nula infinitamente diferenciável de fₐ(z) = az², 𝑎 ∈ R∗, as demais raízes duplas que aparecem no texto não são diferenciáveis). O fundamento teórico que dá suporte aos resultados aqui obtidos pertence à Análise Clássica.
In this paper, we introduce the notion of weighted mean method (N̄, p, q, w) of triple sequences of fuzzy numbers and and show necessary and sufficient Tauberian conditions under which convergence in Pringsheim's sense of a triple sequence of fuzzy numbers follows from its $ (\bar{N},p,q,w) $ summability. These conditions are weaker than the weighted analogues of Landau's conditions and Schmidt's slow oscillation condition in some senses for three-dimensional case.
A conservação da água é uma questão de grande importância e, por isso, novas técnicas são constantemente desenvolvidas para minimizar esse desafio. No Brasil, a técnica de irrigação localizada tem sido amplamente adotada para maximizar a eficiência do uso da água. No entanto, a eficácia dessa técnica é comprometida pelo entupimento dos orifícios dos emissores de água por partículas sólidas de matéria orgânica e inorgânica que se acumulam nos próprios filtros. Por isso, foram empregadas Redes Neurais Artificiais para estimar a massa de sólidos acumulada na filtração, a fim de monitoriar o processo para que a vazão de água seja minimamente afetada. Utilizando um banco de dados experimental disponível na literatura, um modelo neural foi implementado através do algoritmo de aprendizagem de Levenberg-Marquardt, mostrando-se extremamente eficaz nesse caso, com erro relativo percentual médio de 0,29\% na previsão dos valores de massa de sólidos acumulada.
Neste trabalhos analisamos a modelagem com equações diferenciais de ordens não inteiras para fenômenos físicos, especificamente na força exercida sobre uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A abordagem metodológica envolve a substituição das derivadas de ordem inteira pelas de ordem fracionária, no sentido de Caputo, nas equações diferenciais que descrevem o movimento de uma partícula carregada sobre um campo eletromagnético, permitindo uma descrição mais detalhada e eficiente. Os resultados demonstram que a modelagem com a derivada fracionária de Caputo proporciona uma solução mais refinada, incluindo a presença de amortecimento. Conclui-se que o uso do cálculo fracionário oferece vantagens significativas em comparação com o cálculo tradicional, destacando-se pela capacidade de capturar a memória do sistema de forma mais precisa e incorporar fatores inicialmente negligenciados na modelagem clássica.
Entre os centros de triângulos, o incentro, ponto de encontro das bissetrizes, é um dos mais conhecidos devido a sua grande utilização em diversos campos da Matemática e Física. Cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática são discutidos em detalhe. As demonstrações envolvidas nas soluções são complementadas pela disponibilização dos respectivos links das figuras interativas utilizando o GeoGebra. É esperado que o artigo possa ser apreciado tanto por estudantes, que preparam-se para as fases finais de competições nacionais ou internacionais, quanto por professores, que atuam no ensino e interessam-se em desafios olímpicos.
Com o objetivo de tentar descrever um fenômeno mais próximo da realidade, a Modelagem Matemática se apresenta como uma ferramenta essencial para a compreensão de fenômenos de diversas naturezas. Em uma mesma perspectiva, com o avanço do cálculo de ordem fracionária, diversos trabalhos foram publicados e esta Modelagem Matemática, se mostrou muito promissora. Desta forma, amparados por esta nova ótica e aliados a esta teoria generalizada de modelos de crescimento, este trabalho tem como objetivo estudar operadores fracionários proporcionais, para a avaliação das soluções analíticas e numéricas do modelo Logístico.
Estimating the apothem of regular polygons may be required in academical and real-life situations such as for calculating the area of regular polygons and the volume of prisms and pyramids. The calculus of apothem requires the use and knowledge of the tangent function. In the present article we describe an algebraic approximation procedure for estimation of the apothem of any regular polygon given only the length of one side and the number of sides. An initial approximation was obtained based on nearly linear correlation between the product of polygon sides number and length with the squared root of the sum of the squared apothem and squared hypotenuse of one of the inner right-angled triangles of the polygon. In a second step the bootstrap method was to use to obtain the coefficients of a second-degree polynomial. The resulting equation predicts the apothem with a minimum accuracy of 0.9997. In polygons of 3, 4, 6 and with more than 25 sides the accuracy was higher than 0.9999.
Neste trabalho, será apresentada a construção do teorema que fundamenta a existˆencia e unicidade da Forma Canˆonica de Jordan para uma dada transformação em um espaço vetorial sobre um corpo algebricamente fechado partindo do fato de que, se 𝑇 é uma transformação linear em um espaço vetorial 𝑉 sobre um corpo K e 𝜆 é um autovalor de 𝑇, então a restrição de 𝑇− 𝜆𝐼 à ker(𝑇 − 𝜆𝐼)𝑗 (onde 𝑗 é o menor inteiro tal que ker(𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑗 = ker(𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑗+1) é nilpotente, o que possibilita encontrar conjuntos de vetores 𝛽 = {𝑣, (𝑇 − 𝜆𝐼𝑑)(𝑣), . . . , (𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑚−1 (𝑣)} de modo que a restrição de 𝑇 − 𝜆𝐼 ao conjunto gerado por 𝛽 pode ser representada por uma matriz do tipo 𝐽𝑚(0), e portanto, a restrição de 𝑇 `a [𝛽] pode ser representada por 𝐽𝑚(𝜆𝑖).Em seguida, será utilizada a Teoria de Corpos para extender tal construção possibilitando sua utilização em espaços vetoriais sobre corpos finitos, uma vez que se 𝑝(𝑥) é um polinˆomio irredutível sobre um corpo K, então K[𝑥]\⟨𝑝(𝑥)⟩ é um corpo onde 𝑝(𝑥) possui raízes.
Neste trabalho apresentamos uma an´alise do sinal da parte real das ra´ızes de um polinˆomio de grau 3 em func¸˜ao de seus coeficientes. O tratamento do problema ´e feito principalmente do ponto de vista anal´ıtico, sabendo que do ponto de vista alg´ebrico o problema j´a vem sendo tratado na literatura sem avanc¸os significativos. Como aplicac¸˜ao dos resultados obtidos, caracterizaremos completamente a dinˆamica e a estrutura topol´ogica do retrato de fase para campos lineares em R3. Al´em disso, apresentamos aplicaç˜oes no estudo qualitativo local de pontos de equil´ıbrio para campos vetoriais em R3 definidos a um ou mais parˆametros.
Os modelos de interação do tipo presa-predador são comumente utilizados desde o controle biológico de pragas até mesmo na captura e emissão de carbono. Um modelo amplamente difundido é o de Lotka-Volterra (1926), sendo simples e validado. No entanto, esse modelo carece de correções que reproduzam melhor a realidade. Diante disso, foi realizada a análise qualitativa dos problemas presa-predador com fatores de inibição, utilizando as equações de Verhulst e Gompertz, juntamente com a análise numérica das aproximações para tais modelos com o software MATLAB. A análise qualitativa utilizou do estudo dos pontos de equilíbrio dos sistemas localmente lineares, da estabilidade dos sistemas lineares associados e dos sinais das derivadas, construindo trajetórias no plano de fase. Na análise numérica foram aproximadas trajetórias no plano de fase com a implementação do algoritmo de Runge-Kutta de 4a ordem. Todas as informações obtidas qualitativamente foram confirmadas por meio das aproximacões numéricas.
Neste estudo definimos e investigamos uma nova sequência do tipo Pell, perpetrada por uma recorrência linear de segunda ordem a qual especifica a sequência de Horadam. Aqui, apresentamos, estudamos e analisamos resultados referentes a esta nova classe de sequências de Pell.
Este artigo explora uma relação geométrica singular entre as áreas de dois triângulos, na qual cada vértice do triângulo menor está localizado sobre os lados distintos do triângulo maior. Apresentamos e demonstramos três propriedades pouco usuais, utilizando exemplos práticos com pontos notáveis, como o baricentro, o incentro, o circuncentro, o ortocentro e o ponto de Gergonne. Os resultados obtidos abrem caminhos para futuras investigações geométricas, destacando conceitos clássicos e modernos, como o teorema de Euler aplicado a triângulos pedal, que relaciona a área de triângulos com projeções ortogonais de um ponto sobre os lados de um triângulo.
The subject of this paper is the Propositional Neighbourhood Logic (PNL), a case of linear temporal logic and an extension of Classical Propositional Logic that results from the inclusion of modal operators that deal with certain temporal aspects. In this context, the validity of a proposition is strictly related to some temporal interval. We highlight some formal aspects of this logic and its formalization in some deductive systems (or proof systems), which naturally reflect the formal aspects of time. We aim to investigate algebraic models for Propositional Neighbourhood Logic. However, in this work, we focus exclusively on presenting the Soundness result, one of the necessary steps towards obtaining an adequate (sound and complete) model, between the axiomatic system of PNL and the planned algebraic model.
A análise de estabilidade em sistemas dinâmicos desempenha um papel crucial na garantia da operação segura e confiável dos sistemas elétricos de potência. Este trabalho visa investigar as características dos pontos de equilíbrio e realizar uma análise de estabilidade em um sistema elétrico de potência de uma máquina contra barramento infinito (SMIB - {\itshape Single Machine Infinite Bus}). Para isso, será considerada uma abordagem detalhada da análise de sistemas dinâmicos não-lineares para descrever o comportamento do sistema de potência citado, com foco na análise de estabilidade de ângulo do rotor para grandes perturbações, explorando o Primeiro e Segundo Métodos de Lyapunov, bem como o Princípio de Invariância de LaSalle. As simulações serão conduzidas por meio de algoritmo, implementado no ambiente MATLAB, que possibilitará realizar a análise espectral do SMIB investigando-se condições de estabilidade deste.
