Ausgehend von einem Aufgabenklassiker, der auch unter dem Namen „Pólyasches Urnenschema“ bekannt ist, entdecken wir verschiedene kombinatorische Phänomene und Identitäten (wieder), und skizzieren damit ein Übungsfeld, das eine authentische Gelegenheit zum forschenden Lernen für Mathematikstudierende in einer frühen Phase ihres Studiums oder sogar für interessierte Schülerinnen und Schüler darstellen kann. Wir möchten aufzeigen, wie wohlbekannte kombinatorische Interpretationen der Identität von Chu-Vandermonde zu kombinatorischen Beweisen eng verwandter Identitäten inspirieren können. Darüber hinaus wird ein Weg in ein faszinierendes Geflecht aus Zusammenhängen zwischen verschiedenen kombinatorischen Resultaten und Begriffen (verallgemeinerte Binomialkoeffizienten, steigende und fallende Faktorielle und deren binomische Lehrsätze, Chu-Vandermonde und verwandte Binomialidentitäten) aufgezeigt, der ausgehend von der Initialaufgabe mit Lernenden beschritten werden kann. Wir bezeichnen dies als eine „kleine Welt kombinatorischer Identitäten“, weil man immer wieder Neues entdeckt, das sich schlussendlich aber stets als eng verwandt zu bereits Bekanntem herausstellt.
We discuss the elegant method of Ludovico Ferrari who found a cubic resolvent of the quartic equation in the 16th century. In certain cases, his approach renders the real solutions only in terms of real quantities, which, however, involve up to four nested radicals. A method of Euler brings a reduction to only three nested radicals but makes use of complex quantities. A way to the said cubic resolvent that can be found in many modern textbooks turns out to be less elegant than Ferrari’s method.
Bei einem Zauberkunststück werden in einem quadratischen Schema aus Bildern Partner von verdeckten Karten erkannt. Die Erklärung: Sie sind auf eine sehr subtile Weise platziert. Es werden Beispiele angegeben, und es wird auch ein Verfahren vorgestellt, wie man solche Kunststücke selbst vorbereiten kann.
Given three points, one can ask to find a fourth point for which the sum of the distances to the given points becomes minimal. This is known as the Fermat-Torricelli problem; various generalizations and modifications of this problem are also associated—not always in a historically correct way—with the names of Weber and Steiner. The purpose of this paper is twofold. First, we present in a succinct (and, as we hope, appealing) way, suitable for use in schools, this interesting old problem and its rich history which, in our opinion, deserves as much popularity as it can get. Second, we add two new facets to the picture, one concerning the analytic solvability of the problem, the other concerning the duality between this problem and Moss’ problem to be described below.
Zahlreiche rekursive Zahlenfolgen lassen sich als gewichtete Zeilensummen im Pascalschen Dreieck wiederfinden, unter ihnen die Jacobsthal- und – weniger bekannt – die Fibonacci-Folge. Visualisiert man die Gewichte farblich, so fällt auf, dass diese sich als vertikale „Girlanden“ durch das Pascalsche Dreieck schlängeln. Diese Visualisierung erlaubt es auch, die auftretenden Rekursionen elementar zu beweisen. Dabei werden benachbarte Girlanden als „Blümchen“ zusammengefasst, in welchen sich die jeweiligen Rekursionen leicht nachprüfen lassen. Es werden erste Schritte zu einer Systematisierung der gewonnenen Resultate unternommen. Die Ergebnisse des vorliegenden Artikels wurden in einem Forschungsprojekt mit Schülerinnen und Schülern an der Universität Bonn gewonnen.
We consider families of triangles which share the same Brocard angle. Historically, such families first occurred in the context of projections of equilateral triangles. We introduce two new Brocard families. The first one is related to triangles that are inscribed in a certain way in a triangle. The second new Borcard family occurs in a configuration related to Routh’s theorem.
Scientific Machine Learning (SciML) is an emerging interdisciplinary field that integrates the strengths of scientific computing and machine learning to address complex modeling, simulation, and inference tasks in the natural and engineering sciences. This paper provides a concise overview of the foundational paradigms underlying SciML, where we highlight the complementary roles of physics-based models and data-driven methods. We discuss the core challenges, including data scarcity, physical consistency, high dimensionality, and computational cost and then introduce key methodological advances such as physics-informed neural networks, operator learning, hybrid modeling, and probabilistic approaches, each designed to address specific limitations of traditional methods. The techniques are illustrated through applications in fluid dynamics and turbulence modeling, automation and control, energy management, and sustainable mobility, demonstrating how SciML enables more accurate, efficient, and interpretable solutions. Finally, we outline open problems and future directions, and emphasize the need for theoretical understanding, scalable algorithms, and interdisciplinary collaboration.
In Form eines Bilderrätsels werden vier gleichartige elementargeometrische Behauptungen formuliert, die anschließend weitgehend ohne Worte bewiesen werden.
The rapid development of artificial intelligence (AI), marked by breakthroughs like AlphaEvolve and Gemini Deep Think, is beginning to offer powerful new tools that have the potential to significantly alter the research practice in many areas of mathematics. This paper explores the current landscape of publicly accessible large language models (LLMs) in a mathematical research context, based on developments up to August 2, 2025. Our analysis of recent benchmarks, such as MathArena and the Open Proof Corpus [2, 8], reveals a complex duality: while state-of-the-art models demonstrate strong abilities in solving problems and evaluating proofs, they also exhibit systematic flaws, including a lack of self-critique and a model depending discrepancy between final-answer accuracy and full-proof validity. Based on these findings, we propose a durable framework for integrating AI into the research workflow, centered on the principle of the augmented mathematician. In this model, the AI functions as a copilot under the critical guidance of the human researcher, an approach distilled into five guiding principles for effective and responsible use. We then systematically explore seven fundamental ways AI can be applied across the research lifecycle, from creativity and ideation to the final writing process, demonstrating how these principles translate into concrete practice. We conclude that the primary role of AI is currently augmentation rather than automation. This requires a new skill set focused on strategic prompting, critical verification, and methodological rigor in order to effectively use these powerful tools.
Dieser Artikel betrachtet die Darstellung der Strahlensätze und deren Umkehrungen in verschiedenen Schulbüchern. Diese Darstellungen werden dabei auf ihre fachliche Korrektheit und ihre Konsistenz überprüft. Insbesondere wird die zeitliche Entwicklung der Darstellungen im Lehrwerk Lambacher Schweizer betrachtet. Ergänzt wird die Betrachtung durch Hinzunahme weiterer Quellen. Ausgehend von den Beobachtungen wird eine Charakterisierung der Fehlertypen erstellt und versucht eine Ursache für diese herauszuarbeiten.
