Multiples of nine in base 10 form a staircase pattern: the tens digit increases, the ones digit decreases, and their sum is always nine. We establish a general identity showing that in any base~b, multiplication by (b – 1) produces the same phenomenon. Examples across numeral systems illustrate its link to digital roots and modular arithmetic, while its pedagogical and historical significance highlights how an elementary curiosity fits within number theory and mathematics education.
This article [1] has been retracted by the editor due to incomplete authorship confirmation procedures at the time of publication. The retraction does not reflect concerns regarding the scientific content of the article. [1] https://doi.org/10.15388/LMR.2025.44495
Straipsnyje aptariami netaisyklingos matematikos atvejai vadovėliuose. Pavyzdžiui, vietoje matematinės sąvokos apibrėžties vadovėliuose aiškinami matematiniai simboliai ir terminai. Kitais atvejais, pagrindžiant ar įrodant teiginius naudojami klaidingi ar netrivialūs faktai taip, lyg būtų savaime suprantami. Pateikiame ir loginio samprotavimo klaidų pavyzdžių. Dalį netaisyklingumo atvejų vadovėliuose paaiškiname matematikos programos problemiškumu. Kita dalis netaisyklingumo kyla dėl tų pačių temų skirtingo traktavimo skirtinguose vadovėliuose. Visais aptariamais atvejais siūlome alternatyvius taisyklingus sprendimus.
Apžvelgiama, remiantis pirminių šaltinių duomenimis, priėmimo į matematines specialybes raida Vilniaus universiteto Fizikos ir matematikos (1945–1965), Matematikos ir mechanikos (1966–1977) bei Matematikos (1978–1990) fakultete.
High school students may be introduced not only to important mathematical statements, such as the fundamental theorem of algebra, but also to their proofs. This famous theorem has various proofs, and its proofs have various modifications. The article discusses one such proof that is accessible to students.
Nagrinėjami metodai, kaip integruoti žiūrovo identifikavimo informaciją į skaitmeninį turinį, tokį kaip vaizdo įrašai ar nuotraukos. Dažnių srities(frequency domain) vandens ženklinimo modeliai pasižymi dideliu atsparumu suspaudimui, regionų iškirpimui ir kitoms atakoms, tačiau jų taikymas masiniu mastu susiduria su reikšmingais skaičiavimo kaštais. Standartinis modelis reikalauja itin daug skaičiavimo išteklių, todėl nėra praktiškai pritaikomas plačiu mastu. Siūlomas sprendimas suskaido dažnio sritį į segmentus ir sukuria ženklų fragmentus, kuriuos galima įvairiai kombinuoti. Šis modelis yra gerokai efektyvesnis ir lengviau plečiamas: jis sumažina skaičiavimo sąnaudas ir leidžia sugeneruoti daug unikalių vandens ženklų variantų iš riboto fragmentų rinkinio.
Darbe analizuojami bendrieji Vilniaus universiteto ir atskirų fakultetų 2000–2026 m.m. priėmimo rodikliai. Duomenų analizei ir prognozėms taikomi AR, ARIMA laiko eilučių modeliai bei eksponentinio glodinimo metodas. Koreliacinės analizės pagalba siekiama įvertinti demografinių veiksnių poveikį bei nustatyti, ar šio poveikio įtaka priėmimo rezultatams yra statistiškai reikšminga.
Puankarė hipotezė – 120 metų senumo prancūzų matematiko Anrio Puankarė suformuluota problema – yra vienas pagrindinių šiuolaikinės matematikos iššūkių. Joje teigiama, kad bet kurią trimatę erdvę, kuri yra uždara ir be skylių, galima deformuoti į trimatę sferą. Nors hipotezė buvo išspręsta šio amžiaus pradžioje, ji vis dar išlieka paslaptinga, patraukli ir intriguojanti. Tai problema, kurią verta toliau išsamiai tyrinėti. Šio straipsnio tikslas, viena vertus, yra trumpai apžvelgti tai, ką šiandien žinome apie Puankarė hipotezę ir su ja susijusias problemas trimatėje erdvėje, ir, kita vertus, paaiškinti, kodėl ji ilgą laiką buvo (ir dar yra) matematikų dėmesio centre.
Straipsnyje pateikiama lyginamoji 2022–2025 m. vykusių Jaunųjų matematikų varžybų 11–12 klasių mokinių komandinių ir individualių rezultatų analizė atsižvelgiant į užduočių išspręstumą.
Prieš 23 metus žurnale Alfa plius omega [7] tvirtinau, kad atvirkštinės funkcijos dėstymas ir grafiko braižymas naujame TEV leidyklos vadovėlyje [14] yra klaidingas. Vadovėlio autorių grupės vadovas V. Stakėnas atsakė, kad tai ne klaidingas, bet tradicinis požiūris [15]. Diskusija neišsivystė. Šiame straipsnyje siūlau atskirti funkcijos ir lygties žymenis – funkcija f : x ↦ f(x), o y = f(x) – tik lygtis. Tai gali padėti išspręsti, atrodo, nesutaikomus požiūrius į atvirkštinę funkciją ir jos grafiką. Taip pat vystau idėją, kad funkcijos f grafikas yra ir atvirkštinės funkcijos g grafikas kitoje koordinačių sistemoje.
Straipsnyje nagrinėjamas atstatymo proceso su tolydžiu kompensatoriumi indukuotas statistinis eksperimentas. Galiojant tikimybinių matų lokaliam asimptotiniam normalumui rasti asimptotiškai lokaliai galingiausi kriterijai tikrinant paprastąją hipotezę su sudėtingąja parametrine alternatyva. Taip pat parodoma, kaip praktiškai tikrinamos minėtos hipotezės su konkrečiais duomenimis.
Apžvelgiama, remiantis pirminių šaltinių duomenimis, studentų priėmimo į Vilniaus universiteto Matematikos fakulteto (1991–1999 m.m.) bei Matematikos ir informatikos fakulteto (1999–2024 m.m.) pagrindinių studijų matematikos ir informatikos krypčių specialybes raida.
Assessing credit risk is essential when making financial decisions, especially investing in debt securities. As the bond market is the largest securities market in the world, a great demand exists for tools to assess issuer creditworthiness. Furthermore, information describing the probability of default is also useful in other areas, such as risk management. In the era of machine learning and big data, new techniques have emerged that allow for automated risk assessment based on large amounts of data. Traditional creditworthiness assessment methods may be inaccurate, as the investor could be biased or misinterpret available information. A review and comparison of modern tools that would allow intelligent processing of large amounts of information will help assess the issuer's credit risk as objectively as possible.
Kreivės sąvoka buvo intuityviai suprasta dar gilioje senovėje. Stebėdami mesto akmens trajektoriją, upės krantų išlinkimus, augalų ir gėlių lapų kontūrus, žmonės palaipsniui vystė kreivės sąvokos sampratą. Straipsnyje bandoma aptarti tokias kreives, kurios privertė matematikus giliau pažvelgti į kreivės sąvoką ir rimčiau užsiimti kreivių savybių nagrinėjimu. Terminu ,,ypatingosios kreivės`` autoriai vadina tas trečiosios ir ketvirtosios eilės kreives, kurias generuoja apskritimai (generuojantys apskritimai). Tokių kreivių lygtis dekartinėse koordinatėse galima išvesti tik elementariosios geometrijos metodais, dažniausiai taikant trikampių panašumą. Autoriai mano, kad straipsnyje išdėstytos mintys padės matematikos mokytojams paskatinti mokinius rimčiau domėtis labai įdomiu mokslu – matematika.
This paper explores the construction of an efficient sequent calculus for a selected fragment of porpositional linear temporal logic (PLTL), extending the ideas of classical calculi discussed in [1], and builds upon previous investigations into the issue of loops in PLTL. Unary fragment of PLTL is identified in which formulas can contain at most one outermost ☐ (``always'') operator. Fragments are typically analyzed with the aim of defining more efficient calculi for formulas belonging to the fragment, especially when such an approach is not feasible for the full logic (such a strategy is employed in [3,4]). New or-type rule (⊦ ☐L*) is introduced by the authors. Authors propose newly developed sequent calculus PLTL – F1 for this fragment, which eliminates the need for loop axioms while improving derivation efficiency. Furthermore, the authors also introduce a totally loop-check free sequent calculus PLTL – F3. Elimination of loops was achieved by proving restrictions on the applications of the (⊦ ☐) and (∘) rules.
The paper considers a method to construct numerical models of non-markovian stochastic systems. The idea is to approximate a general distribution function of positive random value by mixture of exponential stages. The example is given.
The distribution of aggregate claims of a portfolio has been a central topic in risk theory. The discussion has focussed on two problems: the choice of the distribution and its numerical evalution by means of an approximation. The paper describes the method of approximation by means of orthogonal polynomoales, the Edgeworth and the Esscher methods.
We present implicit and explicit versions of a numerical algorithm for solving a Volterra integro-differential equation. These algorithms are an extension of our previous work, and cater for a kernel of general form. We use an appropriate test equation to study the stability of both algorithms, numerically deriving stability regions. The region for the implicit method appears to be unbounded, while the explicit has a bounded region close to the origin. We perform a few calculations to demonstrate our results.
