В настоящей работе приведено доказательство основной теоремы в методе весового решета, содержащего веса А. А. Бухштаба (1985).Известны методы весового решета П. Куна (1941 г.), Н. Энкени и Х. Ониши (1965 г.), А. А. Бухштаба (1967 г.), Х.–Э. Рихерта (1969 г.), М. Лабордэ (1979 г.), А. А. Бухштаба (1985 г.) и другие. Проблема выбора оптимальных весов в методе весового решета являетсяочень трудной. Последние веса Бухштаба (1985 г.) позволяют получить преимущества при выборе параметров в методе весового решета в сравнении с более ранними весами Бухштаба (1967 г.) и их непрерывной формой, полученной Лабордэ, частным случаем которых являются веса Рихерта.Современный метод решета внес весомый вклад в теорию чисел. Древнейшим из известных методов решета является метод решета Эратосфена (III-й век до н.э.). Этот метод применялся для подсчета числа простых чисел в заданном интервале и заключается в следующем: если в конечном множестве натуральных чисел {2, 3, ..., 𝑛} сначала вычеркнуть все числа, кратные 2, затем — кратные 3 и так далее до наибольшего положительного простого числа, не превосходящего√𝑛, то останутся невычеркнутыми только простые числа 𝑝, √𝑛 < 𝑝 ⩽ 𝑛. Уже метод решета Эратосфена обладает отличительной чертой метода решета, который связан с пересчетом числа элементов конечного множества, не обладающих определенными предписанными свойствами. Так как метод решета является прежде всего процессом исключения, то применения метода решета в любых его формах необязательноограничены просеиванием конечных последовательностей в теории чисел.Методы решета успешно применимы для конечных множеств, состоящих из чисел с ограниченным числом простых делителей, то есть почти простых чисел, каждое из которых состоит не более чем из 𝑟 (𝑟 ∈ N, 𝑟 ⩾ 2) простых множителей. В сочетании с другимиметодами методы решета дают результаты, относящиеся и к другим множествам.
В статье рассматривается задача дифракции гармонических звуковых волн, излучаемых линейным источником, на однородном изотропном упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью. Полагается, что тело помещено в безграничную идеальную сжимаемую жидкость.Волновые поля в содержащей среде и однородном упругом шаре описываются разложениями по сферическим волновым функциям. Определение коэффициентов разложений сведено к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.Для получения аналитического решения задачи дифракции использованы интегральные соотношения между цилиндрическими и сферическими волновыми функциями и теоремы сложения для волновых сферических функций.
Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений. В работе изучаются Ω-расслоенные формации, построенные В. А. Ведерниковым в 1999 году, где Ω — непустой класс простых групп. В работе получены две формулы Ω-расслоенной формации, описывающие ее строение, с помощью которых установленысвойства корадикалов субнормальных подгрупп в группах: для Ω-расслоенной формации F установлено строение F-корадикала подгруппы группы, порожденной двумя ее субнормальными подгруппами; описаны условия, при которых для Ω-расслоенных формаций F1 и F2 в любой конечной группе F1-корадикал одной субнормальной подгруппы перестановочен с F2-корадикалом другой субнормальной подгруппы.
В работе получена асимптотическая формула для числа решений уравнения 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑁 в простых числах 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, удовлетворяющих условиям 𝑎 < {𝜂𝑝^2_𝑖} < 𝑏, 𝑖 = 1, 2, 3, где 𝜂 — положительное иррациональное число с ограниченными неполными частными, 0 < 𝑎 < 𝑏 < 1. Остаточный член в данной формуле имеет вид 𝑂(︁𝑁^(2−1/8+𝜀) ln𝑁)︁.
В данной работе предлагается алгоритм построения частично-изоспектральных операторов Дирака на конечном отрезке. Этот алгоритм применяется к процессу нахождения решений смешанных задач, поставленных для систем дифференциальных уравненийс частными производными гиперболического типа с переменными коэффициентами.
