О Корректности Математической Постановки Краевых Задач В Градиентной Упругости

Градиентные теории упругости содержат по определению масштабные параметры и поэтому, естественно, что они являются весьма привлекательными для моделирования масштабных эффектов в механике материалов с микро-наноструктурой, для исследования фазовых превращений с образованием межфазных слоев, меняющих микроструктуру материалов, модифицированных композитов с наноструктурами на волокнах, а также при исследовании связных проблем термомеханики и гидродинамики и др. Появление параметров масштаба в градиентных моделях связано с тем, что в качестве аргументов при вариационном описании таких моделей рассматриваются не только деформации, но и их градиенты. В результате, определяющие уравнения в градиентных моделях первого порядка определяются не только тензором упругих свойств четвертого ранга, но и в общем случае тензорами упругости пятого и шестого ранга, отличающихся по размерности от классических модулей упругости. В работе обсуждается симметрия тензоров модулей упругости шестого ранга при перестановке индексов дифференцирования в градиентной упругости, которая является следствием того, что вторые производные вектора перемещений не зависят от порядка дифференцирования. Отмечается, что имеют место случаи, когда для корректных постановок прикладных краевых задач необходимо использовать в краевых условиях тензоры модулей упругости шестого ранга, симметричные при перестановке индексов дифференцирования (симметричные по последним индексам моментные напряжения) даже если формально построенные варианты прикладных градиентных теорий лишены этого признака симметрии. Показано, что игнорирование свойства симметрии тензора модулей шестого ранга при перестановке индексов дифференцирования может приводить к существенным погрешностям по сравнению с корректными решениями, учитывающими этот признак.