The problem of the existence of a limit distribution of the zeros of Hermite-Padé polynomials for a pair of functions forming a Nikishin system is discussed. Two new scalar methods are proposed for the investigation of this problem. The first is based on a potential-theoretic equilibrium problem stated on a two-sheeted Riemann surface and on the use of the Gonchar-Rakhmanov-Stahl ($\operatorname{GRS}$-)method in treating this problem. The second method is based on the existence of a three-sheeted Riemann surface with Nuttall partition into sheets which is associated with a given pair of functions $f$, $f^2$, and it uses only the maximum principle for subharmonic functions. The connection of these methods and the results obtained with Stahl's methods and results of 1987-88 is discussed. Results of numerical experiments are presented. Bibliography: 109 titles.

Обсуждается задача о существовании предельного распределения нулей многочленов Эрмита-Паде для пары функций, образующих систему Никишина. Предлагаются два новых скалярных метода исследования этой задачи. Первый метод основан на теоретико-потенциальной задаче равновесия, поставленной на двулистной римановой поверхности, и дальнейшем использовании метода Гончара-Рахманова-Шталя ($\operatorname{GRS}$-метод). Второй метод основан на существовании трехлистной римановой поверхности с наттолловским разбиением на листы, ассоциированной с заданной парой функций $f$, $f^2$, и использует только принцип максимума для субгармонических функций. Обсуждается связь предложенных методов и полученных результатов с методами и результатами Г. Шталя 1987-1988 гг. Представлены результаты численных экспериментов. Библиография: 109 названий.

The structure of a Nuttall partition into sheets of some class of four-sheeted Riemann surfaces is studied. The corresponding class of multivalued analytic functions is a special class of algebraic functions of fourth order generated by the function inverse to the Zhukovskii function. We show that in this class of four-sheeted Riemann surfaces, the boundary between the second and third sheets of the Nuttall partition of the Riemann surface, is completely characterized in terms of an extremal problem posed on the two-sheeted Riemann surface of the function w defined by the equation w^2=z^2-1. In particular, we show that in this class of functions the boundary between the second and third sheets does not intersect both the boundary between the first and second sheets and the boundary between the third and fourth sheets.

Рассматриваются смешанные теоретико-потенциальные задачи равновесия. Задачи связаны с изучением асимптотических свойств рациональных аппроксимаций, основанных на многочленах Эрмита-Паде 2-го типа для систем Никишина. Библиография: 26 названий.

Some mixed potential-theoretic equilibrium problems are treated. These problems are motivated by the asymptotic properties of rational approximants based on type II Hermite-Pade polynomials for Nikishin systems of functions. Bibliography: 26 titles.

In the paper, we discuss how it would be possible to succeed in Stahl's novel approach, 1987--1988, to explore Hermite--Pad\'e polynomials based on Riemann surface properties. In particular, we explore the limit zero distribution of type I Hermite--Pad\'e polynomials $Q_{n,0},Q_{n,1},Q_{n,2}$, $\operatorname{deg}{Q_{n,j}}\leq{n}$, for a collection of three analytic elements $[1,f_\infty,f^2_\infty]$. The element $f_\infty$ is an element of a function $f$ from the class $\mathbb C(z,w)$ where $w$ is supposed to be from the class $Z_{\pm1/2}([-1,1])$ of multivalued analytic functions generated by the inverse Zhukovskii function with the exponents from the set $\{\pm1/2\}$. The Riemann surface corresponding to $f\in\mathbb C(z,w)$ is a four-sheeted Riemann surface $\mathfrak R_4(w)$ and all branch points of $f$ are of the first order (i.e., all branch points are of square root type). Since the algebraic function $f\in\mathbb C(z,w)$ is of fourth order and we consider the triple of the analytic elements $[1,f_\infty,f^2_\infty]$ but not the quadruple $[1,f_\infty,f^2_\infty,f^3_\infty]$ ones, the result is new and does not follow from the known results. As in previous paper arXiv: 2108.00339 and following to Stahl's ideas, 1987--1988, we do not use the orthogonality relations at all. The proof is based on the maximum principle only.

Let [f_0,…,f_m] be a family of formal series in nonnegative powers of the variable 1/z with the condition f_j(∞) 0 . It is assumed that this family is in general position. For the given family of series and (m+1) -dimensional multi-indices 𝐧_k∈ℕ^m+1 , k=0,…,m , constructions are given of Hermite–Padé polynomials of the 1st and 2nd types of degrees ≤ n and ≤ mn , respectively, with the following property. Let M_1(z) and M_2(z) be two (m+1)×(m+1) polynomial matrices, M_1(z),M_2(z)∈GL(m+1,ℂ[z]) , generated by Hermite–Padé polynomials of the 1st and 2nd types corresponding to the multi-indices 𝐧_k∈ℕ^m+1 , k=0,…,m . Then the following identity holds: M_1(z)M_2^T(z)≡ I, M_1(0)=M_2(0)=I, where I is the identity (m+1)×(m+1) matrix. The result is motivated by a number of new applications of the Hermite–Padé polynomials recently arisen in connection with studies of the monodromy properties of Fuchsian systems of differential equations.

Пусть $[f_0,…,f_m]$ - набор формальных рядов по неотрицательным степеням переменной $1/z$ и с условием $f_j(\infty)\ne 0$. Предполагается, что этот набор находится в "общем положении". Для заданного набора рядов и $(m+1)$-мерных мультииндексов $\mathbf n_k\in\mathbb N^{m+1}$, $k=0,…,m$, приводятся конструкции полиномов Эрмита-Паде 1-го и 2-го типов степеней $\le n$ и $\le mn$ соответственно обладающие следующим свойством. Пусть $M_1(z)$ и $M_2(z)$ - две $(m+1)\times(m+1)$ полиномиальные матрицы, $M_1(z),M_2(z)\in\operatorname{GL}(m+1,\mathbb C[z])$, порожденные полиномами Эрмита-Паде 1-го и 2-го типов, соответствующих мультиндексам $\mathbf n_k\in\mathbb N^{m+1}$, $k=0,…,m$. Тогда выполняется тождество $$ M_1(z)M_2^{\mathrm T}(z)\equiv I, \qquad M_1(0)=M_2(0)=I, $$ где $I$ - единичная $(m+1)\times(m+1)$-матрица. Результат мотивирован рядом новых приложений полиномов Эрмита-Паде, возникших недавно в связи с исследованиями свойств монодромии фуксовых систем дифференциальных уравнений. Библиография: 12 названий.

The main purpose of the paper is to present some powerful data on the advantage of the rational approximation procedure based on Hermite-Pad\'e polynomials over the Pad\'e approximation procedure. The first part of the paper is devoted to some numerical examples in this direction. The second part will be devoted to some theoretical results. In particular, we demonstrate our ideas about the advantage of rational Hermite-Pad\'e approximants over Pad\'e approximants analyzing the analytical structure of the frequency function $\nu$ of the free Van der Pol equation.

В предположении о существовании $S$-компакта Шталя приводится короткое доказательство существования предельного распределения нулей полиномов Паде и сходимости по емкости соответствующих диагональных аппроксимаций Паде для некоторого достаточно общего класса алгебраических функций. Приведенное доказательство прямое, а не методом от противного, как это сделано в оригинальных работах Шталя. Ограничение на класс алгебраических функций означает, в частности, что все критические точки римановой поверхности рассматриваемой функции второго порядка (т.е. все ветвления алгебраической функции квадратичные). В качестве следствия для рассматриваемого класса алгебраических функций доказана справедливость одной из гипотез Гончара, связанных с аппроксимациями Паде. При доказательстве не используется свойство ортогональности, справедливое для полиномов Паде; оно основано только на принципе максимума. Библиография: 19 названий.

where σ1 is a positive measure with support supp σ1 on a compact set E ⊂ R and h ∈ H (E) is a holomorphic function on E. If h(z) = σ̂2(z), where σ2 is a positive measure with support supp σ2 ⊂ F , where F ⊂ R \ E is a compact set, then the pair of functions f1, f2 forms a Nikishin system (see [6], and also [7], [5], [10], and the bibliography therein). Let Qn,j , j = 0, 1, 2, be the Hermite–Padé polynomials of the first type for the collection [1, f1, f2] with multi-index n = (n − 1, n, n), which means that deg Qn,j ⩽ n and (Qn,0 + Qn,1f1 + Qn,2f2)(z) = O(z−2n−2), z →∞. (2) For an arbitrary polynomial Q ∈ C[z] \ 0, let

In the paper we represent two examples which are based on the properties of discrete measures. In the first part of the paper we prove that for each probability measure μ, suppμ = [−1, 1], which logarithmic potential is a continuous function on [−1, 1] there exists a (discrete) measure σ = σ(μ), suppσ = [−1, 1], with the following property. Let {Pn(x;σ)} be the sequence of polynomials orthogonal with respect to σ. Then 1 n χ(Pn(·; σ)) ∗ → μ, n → ∞, where χ(·) is zero counting measure for the corresponding polynomial. The construction of the measure σ is based of the properties of weighted Leja points. In the second part we give an example of a compact set and a sequence of discrete measures supported on that compact set with the following property. The sequence of measures converges in weak-∗ topology to the equilibrium measure for the compact set but the corresponding sequence of the logarithmic potentials does not converge to the equilibrium potential in any neighbourhood of the compact set. Bibliography: [6] titles. 1. 1.1. Let ∆ = [−1, 1] and μ be a probability measure such that suppμ = ∆ and the corresponding logarithmic potential V μ(z) of μ is a continuous function on ∆. For a measure σ, suppσ = ∆, we denote by Pn(x;σ) = x n + · · · the monic polynomials which are orthogonal with respect to σ, ∫ ∆ Pn(x;σ)x k dσ(x) = 0, k = 0, . . . , n− 1. (1) For an arbitrary polynomial Q ∈ C[z] we denote by χ(Q) the zero counting measure of Q (in accordance with their multiplicities of zeros): χ(Q) := ∑

Предлагается и обосновывается алгоритм нахождения полиномов Эрмита-Паде 1-го типа для произвольного набора из $m+1$ формальных степенных рядов $[f_0,…,f_m]$, $m\geq1$, заданных в точке $z=0$ ($f_j\in\mathbb C[[z]]$) в предположении, что эти ряды обладают определенным свойством невырожденности (находятся "в общем положении"). Предложенный алгоритм является непосредственным обобщением классического алгоритма Висковатова для нахождения полиномов Паде (т.е. при $m=1$ совпадает с этим алгоритмом). Алгоритм основан на рекуррентных соотношениях, и к моменту нахождения полиномов Эрмита-Паде, соответствующих мультииндексу $(k+1,k+1,k+1,…,k+1,k+1)$, оказываются найденными все полиномы Эрмита-Паде, соответствующие мультиндексам $(k,k,k,…,k,k)$, $(k+1,k,k,…,k,k)$, $(k+1,k+1,k,…,k,k)$, …, $(k+1,k+1,k+1,…,k+1,k)$. Показано, каким образом можно, изменив начальные условия, вычислять с помощью этого алгоритма рекуррентным образом и полиномы Эрмита-Паде, соответствующие мультииндексам другого вида. Алгоритм устроен таким образом, что на каждом $n$-м шаге итерации вычисления могут быть распараллелены на $m+1$ независимых вычислений. Библиография: 30 названий.

We discuss the relation between the linear Tschebyshev–Padé approximations to analytic function f and the diagonal type I Hermite–Padé polynomials for the tuple of functions [1, f1, f2] where the pair of functions f1, f2 forms certain Nikishin system. An approach is proposed of how to extend the seminal Stahl’s Theory for Padé approximations for multivalued analytic functions to the Tschebyshev–Padé approximations. The approach is based on the relation between Tschebyshev–Padé approximations and Hermite–Padé polynomials and also on a connection of Hermite– Padé polynomials and multipoint Padé approximants. Bibliography: [47] titles.