Three Theorems on Vandermond Matrices

Рассматриваются алгебраические вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье, определенным при помощи симметричной матрицы Вандермонда Lambda. Основное внимание впервых двух теоремах уделяется выработке формулировок, независящих от размера Ntimes N матрицыLambda и явных формул для элементов матрицыLambda через корни уравнения lambdaN 1. В третьей теореме рассматриваются рациональные функции f (lambda), lambdain mathbbC, удовлетворяющие условию вещественности f (lambda) fbig(frac1lambdabig) на всей комплексной плоскости и связанные с известной задачей о коммутировании симметричных матриц Вандермонда Lambda с (симметричными) трехдиагональными матрицами T. Показано, что уже несколько первых уравнений коммутирования и указанное выше условие вещественности определяют вид рассматриваемых рациональных функций f (lambda), а найденные уравнения для элементов трехдиагональных матриц T не зависят от порядка N коммутирующих матриц. Полученные уравнения и приведенные примеры позволяют высказать гипотезу о том, что рассматриваемые рациональные функции являются обобщением многочленов Чебышева. В определенном смысле аналогичная гипотеза была высказана в недавно опубликованной в журнале Теоретическая и математическая физика работе В.М.Бухштабера ссоавторами, где обсуждаются приложения этих обобщений в современной математической физике.