Несобственные интегралы в теории глобальной асимптотической устойчивости многомерных фазовых систем

Рассматривается класс обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику многомерных фазовых систем со счетным положением равновесия с периодическими нелинейными функциями из заданного множества. Такая неопределенность правой части дифференциального уравнения порождает неединственность решения, что приводит к исследованию свойств решений уравнений с дифференциальными включениями. Предлагается совершенно новый подход к исследованию свойств решения динамических систем со счетным положением равновесия при неполной информации о нелинейностях. Путем неособого преобразования исходная система приводится к специальному виду, состоящему из двух частей. Первая часть дифференциальных уравнений разрешима относительно компонентов периодической функции, а вторая часть не содержит нелинейные функции. Исследованы свойства решений, получены оценки на решения исходной системы и преобразованной системы, доказана их ограниченность. Получены тождества относительно компонентов нелинейной функции и установлена их связь с фазовыми переменными. Исследованы свойства квадратичных форм относительно фазовых переменных и производных. Получены оценки несобственных интегралов вдоль решения системы для двух случаев: когда значения интегралов от компонентов нелинейной функции в периоде равны нулю; когда значения интегралов в периоде отличные от нуля. Эти результаты могут быть использованы для получения условий глобальной асимптотической устойчивости многомерных фазовых систем.