有理数域上一类多项式可约性的一个判别法

任给一个m次的整系数多项式∑mi=0aixi,其中首项系数am=1,以及对应的下列不动点迭代算法｛u1=(u)1,u2=(u)2,…um-1=(u)m-1,un=-(am-1+am-2/un-1+am-3/un-1un-2+…+a0/un-1un-2…un-(m-1))(n≥m).1)不难看出,若迭代具有一个有理数极限值,则该值为多项式的一个零点,从而多项式在有理数域上可约.2)该迭代具有"勿需选择初始点"的特征:若多项式有m个绝对值互不相同的有理数零点,那么任意取m-1个非零有理初始点(u)i(1≤i≤m-1),迭代均趋近于其中一个零点,因此,多项式可约.3)假设{ζi ||ζ1|≥|ζ2|≥...≥|ζm|,ζi ∈ C,1≤i≤m}是上述多项式互不相同的零点,则存在m个复数{βi|βi ∈ C,1≤i≤m},使得un可以表示成un=β1ζn+11+β2ζn+12+…+βmζn+1m/β1ζn1+β2ζn2+…+βmζnm在β向量的m个元素中,设βl是首个非0元素,βk为其后首个非0元素,即{βi |βi ∈C,1≤i≤m}={(0,0,…,0,)全为0βl(≠0),(0,0,…,0,)全为0βk(≠ 0),...,βm}.这时,若 |ζl|＞|ζk|,则迭代收敛于ζl.因此,若ζl∈Q,则多项式可约.