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Nonparametric density estimation & convergence of GANs under Besov IPM losses

论文作者：

AnanyaUppal, ShashankSingh, BarnabásPóczos（卡耐基梅隆大学）

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前言

本文将对NeurIPS 2019获得杰出论文奖荣誉提名的论文《Nonparametric density estimation & convergence of GANs under Besov IPM losses》进行解读。该论文以严格的理论方法表明，在密度估计方面，GAN的性能优于线性方法（就收敛速度而言）。利用先前关于小波收缩的结果，本文为GAN的表征能力提供了新的见解。具体来说，作者在大型函数类别（Besov空间）内的大型损失类别（所谓的积分概率度量）下，得出了用于非参数密度估计的最小极大收敛速度。审稿人认为，这篇论文将对从事非参数估计和GAN的研究人员产生重大影响。

摘要

本文研究非参数概率密度的估计问题（Besov IPMs）。其中包括一个大类的损失距离，例如，距离，总方差距离，和普适的Wasserstein-Kolmogorov距离。对于各类的参数设置，作者提供上下两种界限，准确地描述损失函数和假设，以此通过数据交互来确定最小极大最优收敛速度。本文也同时展示了线性分布估计，例如经验分布或核密度估计。这些往往不能以最佳速率收敛。文章中设定的界限为普适、统一或改进几个最近的和经典的结果。此外，IPMs还可以用于建立生成性对抗网络的统计模型（GANs）。因此，作者展示了如何推导GAN统计误差的界限。例如，GANs可以严格地优于最佳线性估计。

研究背景

相关工作

本文对非参数密度估计中的一些最新和经典结果进行了统一、扩展或改进。先前相关工作主要是两个方面：

研究成果

本文的主要有三大技术贡献：

结果讨论

首先，文中注意到q_d和q_g没有出现在界限中。Tao认为q_d和q_g可能只有对数效应（与σ_d, p_d, σ_g, p_g多项式效应对比）。因此，一个更细化的分析可能需要合并和q_d和q_g，以弥补作者的一般估计器上下界之间的多对数差距。

另一方面，在线性和一般情况下，参数σ_d, p_d, σ_g, p_g在确定最小极大收敛速度方面都起着重要作用。文中首先单独讨论这些参数，然后讨论它们之间的一些相互作用。

图1：最小极大收敛速度与判别平滑度σ_d和分布函数平滑度σ_g的函数。a）一般估计和（b）线性估计，在D=4, p_d=1.2, p_q=2。颜色表示最小最大收敛速度的指数，忽略多对数因子。

成果总结

本文证明，对于大类的F_d—IPM损耗和F_g分布类，统一的最小极大收敛速度可以达到对数指标。因此，文中总结了一些以前在特殊情况下观察到的现象。

首先，在足够弱的损失函数下，即使在非常大的非参数分布类上，也可以在参数速率O(n^-1/2)进行分布估计；

其次，在许多情况下，最优估计需要适应非齐次平滑条件；许多常用的分布估计器无法做到这一点，因此会以次优速率收敛，甚至无法收敛；

最后，具有足够大的全连通ReLU神经网络的GANs，利用小波阈值正则化进行统计上的极大极小率最优分布估计，比非齐次非参数平滑分类上更优（假设GAN优化问题可以精确求解）。

重要的是，由于GANS优化IPM的损失比传统L^p损失要小，它们可以学习更高维分布的合理近似值，通过采样复杂性，或者可以解释为什么它们在图像数据的情况下是更优的。因此，作者的结果表明，维数的缺陷可能比经典的非参数下界表示的要轻微。

作者| 王健嘉（上海大学）

排版| 学术菠菜

校对| 小满 

责编| 学术青 优学术

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