According to Kumar's recent surprising result (ToCT'20), a small border Waring rank implies that the polynomial can be approximated as a sum of a constant and a small product of linear polynomials. We prove the converse of Kumar's result and establish a tight connection between border Waring rank and the model of computation in Kumar's result. In this way, we obtain a new formulation of border Waring rank, up to a factor of the degree. We connect this new formulation to the orbit closure problem of the product-plus-power polynomial. We study this orbit closure from two directions: 1. We deborder this orbit closure and some related orbit closures, i.e., prove all points in the orbit closure have small non-border algebraic branching programs. 2. We fully implement the geometric complexity theory approach against the power sum by generalizing the ideas of Ikenmeyer-Kandasamy (STOC'20) to this new orbit closure. In this way, we obtain new multiplicity obstructions that are constructed from just the symmetries of the polynomials.
We consider several coupled systems of one-dimensional linear parabolic equations where only one equation is controlled with a distributed control. For these systems we study the minimal null-control time that is the minimal time needed to drive any initial condition to zero. In a previous work [ Comptes Rendus. Mathématique , 361:1191–1248, 2023] we extended the block moment method to obtain a complete characterization of the minimal null-control time in an abstract setting encompassing such non-scalar controls. In this paper, we push forward the application of this general approach to some classes of 1D parabolic systems with distributed controls whose analysis is out of reach by the usual approaches in the literature like Carleman-based methods, fictitious control and algebraic resolubility, or standard moment method. To achieve this goal, we need to prove refined spectral estimates for Sturm–Liouville operators that have their own interest.
We consider a special class of infinite energy solutions to the inviscid incompressible porous medium equations (IPM), introduced in Castro–Córdoba–Gancedo–Orive [6]. The (IPM) equations then reduce to a one-dimensional nonlocal nonlinear equation, for which an explicit self-similar blow-up solution is found in [6]. We show the stability of this explicit blow-up solution by smooth enough perturbations, and identity a sharp regularity threshold below which it is unstable. The heart of our proof is a change of variables that transforms the study of finite time blow-up solutions, to the study of global-in-time solutions to the Proudman–Johnson equation, which is a reduced equation that appears for special classes of solutions of the two-dimensional Euler equations, and of the inviscid primitive equations (or hydrostatic Euler equations). Our main result is in fact the asymptotic stability with decay estimates for a family of steady states of this reduced equation. It thus also implies the corresponding stability of steady states for the associated classes of solutions to the Euler equations and inviscid primitive equations.
Introduction En France, les inégalités sociales de santé, influencées par la position socioéconomique (PSE), se traduisent par des disparités d’accès et de coûts des soins. L’indice de Défavorisation Ecologique Européen (EDI), mesurant la déprivation à l’échelle infracommunale, est un indicateur de référence pour évaluer la PSE. Ainsi, l’absence de celui-ci dans le Système National des Données de Santé (SNDS) limite l’analyse des inégalités sociales de santé. Le projet PREDICT-EDI vise à développer un algorithme prédictif de l’EDI à partir des données du SNDS, à l’aide de méthodes d’apprentissage supervisé. Méthodes Les données mobilisées proviennent du SNDS, et de la base du projet APSOREN, qui contient l’EDI de plus de 20 000 patients admis aux urgences du CHU de Toulouse pour un traumatisme crânien. Plusieurs algorithmes d’apprentissage supervisé sont comparés. Le choix du modèle optimal repose sur la validation croisée et des métriques telles que le F-score et l’aire sous la courbe ROC. Les variables explicatives incluent des indicateurs directs de PSE et des variables dérivées de la consommation de soins des patients. Ici, la sélection des variables n’est pas automatisée mais guidée par des avis d’experts et des revues systématiques. Résultats Le modèle actuel atteint une accuracy d’environ 60 %. Cette performance, encore préliminaire, s’explique par une forte influence des indicateurs spécifiques de grande précarité (AME, CSS), conduisant le modèle à prédire préférentiellement la classe la plus défavorisée lorsqu’il manque d’information discriminante. Des travaux sont donc en cours pour enrichir le jeu de variables avec de nouveaux indicateurs socio-économiques et comportementaux afin d’améliorer la différenciation des classes intermédiaires. Discussion/Conclusion PREDICT-EDI représente une avancée méthodologique majeure pour intégrer la dimension socioéconomique dans les analyses SNDS. En facilitant l’étude des inégalités sociales de santé, ce projet contribuera à orienter les politiques publiques vers une réduction durable des inégalités.
The dynamics of two-phase flows out of mechanical and thermal equilibrium are described by a partially dissipative first-order quasilinear system with stiff interaction terms associated with fast relaxation scales. In this paper, we analyze from a mathematical point of view the resulting pressure and temperature relaxation singular limit problem for a one velocity Baer-Nunziato model. This leads to a singular limit problem involving two small parameters. We propose a uniform symmetrization of this system which allows us to justify the strong relaxation limit and to establish a convergence rate for classical solutions.
