Proofs are of central importance in mathematics, and therefore proofs are part of mathematics instruction. Thus, learners are confronted with mathematical proofs as part of their mathematical education. In particular, learners are expected to develop an understanding of proof over the course of their mathematics instruction. However, it remains unclear what exactly constitutes an individual’s understanding of proof, given that prior studies have conceptualised it in diverse ways and adopted different approaches. Moreover, the lack of a common theoretical framework makes it difficult both to compare existing findings and to investigate and describe an understanding of proof in the course of mathematics instruction. Although several frameworks exist within the field of proof, they differ substantially in terms of their objectives, approaches, and, if applicable, operationalisations. To address this, we propose a conceptual framework for understanding of proof, bringing together approaches of previous research. Moreover, we illustrate how investigations of individual’s understanding of proof can be designed using the framework. Finally, we discuss how the framework can be used to support systematic future research on the development of learners’ understanding of proof.
In der vorliegenden Studie werden die Präferenz und die Performanz von Schüler:innen der Sekundarstufe bei der Nutzung der beiden schulüblichen Visualisierungen Baumdiagramm und Vierfeldertafel sowie einer rein textuellen Darstellung zur Lösung Bayesianischer Aufgaben untersucht. Bayesianisches Denken ist ein zentraler Bestandteil der Risikokompetenz (Risk Literacy) und essenziell für fundierte Entscheidungen, etwa in Fragen der Rechtsprechung oder bei der Beurteilung von Gesundheitsfragen. Visualisierungen können dabei helfen, die Problemzusammenhänge zu verdeutlichen. Jedoch ist derzeit noch unklar, welche Visualisierungen Problemlöser:innen von sich aus bevorzugen. In der vorliegenden Studie wurden zur Beantwortung dieser Frage mittels Eyetracking und Kurzinterviews die Präferenzen hinsichtlich je zwei gleichzeitig präsentierten Darstellungsarten von insgesamt 36 Schüler:innen der Klassenstufen 5/6 und 10 in einem dreifaktoriellen experimentellen Design untersucht. Dabei wurden empirisch die Präferenzvergleiche a) Baumdiagramm vs. Vierfeldertafel, b) Baumdiagramm vs. Text, und c) Vierfeldertafel vs. Text implementiert. Die Ergebnisse zeigen, dass das Baumdiagramm insgesamt gegenüber der Vierfeldertafel präferiert wird. Die rein textuelle Darstellung der Informationen wird nur sehr vereinzelt einer der beiden Visualisierungen vorgezogen. Die Präferenz, aber auch die Performanz werden zudem von der Klassenstufe beeinflusst. So zeigt sich zwar das Baumdiagramm in beiden Klassenstufen als bevorzugte Visualisierung, in Klassenstufe 10 wird jedoch individuell auch häufig die Vierfeldertafel präferiert, während in Klassenstufe 5/6 gelegentlich auch die rein textuelle Präsentation der statistischen Informationen präferiert wird.
In addition to basic calculation skills, mathematical competencies that focus on understanding relationships and structures are also gaining importance in primary school education. Functional relationships are a key component of this. Currently, in Germany only proportional relationships are routinely addressed. The project presented in this paper investigates a possible approach to non-proportional linear functions via figural growing patterns. The approach used here is to directly prompt the children to colour an additive constant in the pattern in order to make the rate of change visible at the same time. Although colouring approaches are worked on in previous studies, the colouring of a constant approach is novel and, moreover, primary school children have not been engaged with it before now. The results of an exploratory study with over 200 third and fourth graders indicate that the approach can be fruitful and that highly significant correlations and medium size effects between colouring and functional thinking strategies can be revealed. However, the children’s functional thinking strategies demonstrate that the project approach of colouring a constant does not necessarily result in explicit functional thinking. It may therefore be worthwhile to pursue the approach in more depth in follow-up studies.
The concepts of probability and risk are closely related, yet they stand in a complex relationship that poses particular challenges from a didactic perspective. While both objectivist and subjectivist axiomatic theories exist for probability, no comparable theoretical consensus has been established for the concept of risk. Risk is primarily associated with individual decisions, consequences, and evaluations, whereas probability, as a property of repeatable situations, can also be applied to singular cases. The assessment of consequences proves to be substantially more subjective than the measurement of probabilities, and measures of risk derive their meaning only through comparisons among alternative courses of action. This paper aims to provide a foundational clarification of the concepts of Risk Literacy and Risk Competence. To this end, a hermeneutic line of argument is developed that relates statistical and probabilistic concepts to intuition as a guiding factor in human cognition. Three central dimensions are identified: statistical literacy, probability literacy, and intuitive thinking. These dimensions are not understood as additive components but as interwoven perspectives on risk competence. The paper is explicitly intended as an exploratory conceptual positioning rather than as a reductive competence model. Drawing on paradigmatic contexts, risk competence is presented as a multidimensional construct that extends beyond the mere understanding of probabilities. In this way, a theoretical framework is developed that prepares the ground for a didactic engagement with risk without simplifying its complexity or prematurely operationalising it. It is argued that Risk Literacy and, building upon it, Risk Competence emerge from the interplay of probabilistic conceptions, statistical interpretation, and intuitive patterns of thinking. The respective context plays a decisive role, influencing decision-making in risk-laden situations to varying degrees depending on intuitive judgments.
Die Begriffe Wahrscheinlichkeit und Risiko sind eng miteinander verknüpft, stehen jedoch in einem spannungsreichen Verhältnis, das aus didaktischer Sicht besondere Herausforderungen mit sich bringt. Während für Wahrscheinlichkeit sowohl objektivistische als auch subjektivistische axiomatische Theorien vorliegen, existiert für den Risikobegriff kein vergleichbarer theoretischer Konsens. Risiko ist primär mit Einzelentscheidungen, Konsequenzen und Bewertungen verbunden, während Wahrscheinlichkeit als Eigenschaft wiederholbarer Situationen auch auf Einzelfälle bezogen werden kann. Die Einschätzung von Folgen erweist sich dabei als wesentlich subjektiver als die Messung von Wahrscheinlichkeiten, und Risikomaße erhalten ihren Sinn erst im Vergleich alternativer Entscheidungsoptionen. Der Beitrag verfolgt das Ziel, die Begriffe Risk Literacy und Risikokompetenz grundlagenorientiert zu klären. Dies geschieht mittels einer hermeneutischen Argumentation, die statistische und probabilistische Konzepte mit Intuitionen als erkenntnisleitendem Faktor in Beziehung setzt. Dabei werden drei zentrale Dimensionen herausgearbeitet: statistische Literalität, probabilistische Literalität und intuitive Psychologie. Diese werden nicht additiv verstanden, sondern als miteinander verschränkte Perspektiven auf Risikokompetenz. Der Beitrag versteht sich ausdrücklich als explorative Verortung und nicht als reduktives Kompetenzmodell. Anhand paradigmatischer Kontexte wird Risikokompetenz als mehrdimensionales Konstrukt sichtbar gemacht, das über das bloße Verstehen von Wahrscheinlichkeiten hinausgeht. Auf diese Weise wird ein theoretischer Orientierungsrahmen entwickelt, der die didaktische Auseinandersetzung mit Risiko vorbereitet, ohne die Komplexität des Gegenstands zu simplifizieren oder vorschnell zu operationalisieren. Im Beitrag wird gezeigt, dass Risk Literacy und darauf aufbauend Risikokompetenz auf dem Zusammenspiel von probabilistischen Vorstellungen, statistischer Einordnung und intuitiven Deutungsmustern basieren. Dabei spielt der jeweilige Kontext eine entscheidende Rolle, der die Entscheidungsfindung in risikobehafteten Situationen mehr oder weniger stark – abhängig von der intuitiven Einschätzung – beeinflusst.
