We solve the problem of unboundedness of the lengths of periods and quasiperiods of functional continued fractions constructed in the field of formal power series $\mathbb K((1/x))$ for elements of a given hyperelliptic field $\mathcal L$ defined over a field $\mathbb K$ of characteristic different from $2$. It is proven that if in a hyperelliptic field $\mathcal L$ there exist elements with a periodic expansion into a functional continued fraction, then, for each integer $N$, there exists an element in the field $\mathcal L$, whose continued fraction period length is greater than $N$. Moreover, it is shown that, under the assumption that $\mathcal L$ contains elements with periodic continued fraction expansions, the supremum over all elements of $\mathcal L$ of the period lengths in the sequences of degrees of partial quotients is unbounded.

Решается проблема о неограниченности длин периодов и квазипериодов функциональных непрерывных дробей, построенных в поле формальных степенных рядов $\mathbb K((1/x))$, для элементов из заданного гиперэллиптического поля $\mathcal L$, определенного над полем $\mathbb K$ характеристики, отличной от $2$. Доказано, что если в гиперэллиптическом поле $\mathcal L$ есть элементы с периодическим разложением в функциональную непрерывную дробь, то в поле $\mathcal L$ найдется элемент, у которого длина периода непрерывной дроби больше любого наперед заданного числа. Также доказано, что при предположении наличия в поле $\mathcal L$ элементов с периодическим разложением в функциональную непрерывную дробь, верхний предел по элементам поля $\mathcal L$ длин периодов в последовательностях степеней неполных частных неограничен. Библиография: 23 наименования.

Пусть кривая $\mathcal C$ определена над полем алгебраических чисел $k$. В статье исследуется вопрос о количестве обобщенных якобианов $J_{\mathfrak{m}}$ кривой $\mathcal C$, связанных с такими модулями $\mathfrak{m}$, определенными над $k$, что фиксированный класс конечного порядка в якобиане $J$ кривой $\mathcal C$ поднимается до класса кручения в обобщенном якобиане $J_{\mathfrak{m}}$. С одной стороны, в статье получен результат о бесконечности множества обобщенных якобианов с вышеуказанным свойством, а с другой стороны, при дополнительных условиях на носитель $\mathfrak{m}$ или на структуру группы $J_{\mathfrak{m}}$ получены результаты о конечности множества таких обобщенных якобианов. Кроме того, доказана теорема о конечности множества обобщенных якобианов, имеющих подъем двух фиксированных дивизоров до классов конечных порядков в $J_{\mathfrak{m}}$. Эти результаты были применены к проблеме периодичности непрерывных дробей, построенных в поле формальных степенных рядов $k((1/x))$, для специальных элементов поля функций $k(\widetilde{\mathcal{C}})$ гиперэллиптической кривой $\widetilde{\mathcal{C}}\colon y^2=f(x)$. В частности, для любого $n \in \mathbb N$ показана конечность множества многочленов $\omega(x) \in k[x]$ со старшим коэффициентом $1$ и степени не выше $n$, для которых периодично разложение в непрерывную дробь элемента $\omega(x) \sqrt{f(x)}$. Библиография: 14 названий.

The article proves the following statement: in any hyperelliptic field L defined over the field of algebraic numbers K which having non-trivial units of the ring of integer elements of the field L, there is an element for which the period length of the continued fraction is greater any pre-given number.

For a smooth projective curve 𝒞 defined over an algebraic number field k, we investigate the finiteness of the set of generalized Jacobians J_𝔪 of 𝒞 associated with modules 𝔪 defined over k such that a fixed divisor representing a class of finite order in the Jacobian J of 𝒞 provides the torsion class in the generalized Jacobian J_𝔪 . Various results on the finiteness and infiniteness of the set of generalized Jacobians with the above property are obtained depending on the geometric conditions on the support of 𝔪 , as well as on the conditions on the field k. These results are applied to the problem of the periodicity of a continued fraction expansion constructed in the field of formal power series k((1/x)) for special elements of the field of functions k(𝒞̃) of the hyperelliptic curve 𝒞̃:y^2 = f(x) .

We study the problem of describing square-free polynomials f(x) of odd degree with periodic expansion of √(f(x)) into a functional continued fraction in k((x)) , where k⊆ℚ . We obtain a complete description of such polynomials f(x) that does not depend on the field k and the degree of a polynomial, provided that the degree U of the fundamental S -unit of the corresponding hyperelliptic field k(x)(√(f(x))) either does not exceed 12 or is even and does not exceed 20 .

The periodicity and quasi-periodicity of functional continued fractions in the hyperelliptic field L = ℚ(x)(√(f) ) has a more complex nature than the periodicity of numerical continued fractions of elements of quadratic fields. It is known that the periodicity of a continued fraction of √(f)/h^g + 1 constructed using the valuation associated with a first-degree polynomial h is equivalent to the existence of nontrivial S -units in a field L of genus g and is equivalent to the existence of nontrivial torsion in the divisor class group. In this article, we find an exact interval of values of s ∈ℤ such that the elements √(f)/h^s have a periodic continued fraction expansion, where f ∈ℚ[x] is a square-free polynomial of even degree. For polynomials f of odd degree, the periodicity problem for continued fractions of elements of the form √(f)/h^s was discussed in [5], where it was proved that the length of the quasi-period does not exceed the degree of the fundamental S -unit of L . For polynomials f of even degree, the periodicity of continued fractions of elements of the form √(f)/h^s is a more complicated problem. This is underlined by an example we have found, namely, a polynomial f of degree 4 for which the corresponding continued fraction has an abnormally long period. Earlier in [5], for elements of a hyperelliptic field L , we found examples of continued fractions with a quasi-period length significantly exceeding the degree of the fundamental S -unit of L .

Получено полное описание полей $\mathbb K$, являющихся расширениями $\mathbb Q$ степени не более $3$, и кубических многочленов $f \in\mathbb K[x]$, для которых разложение $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb K((x))$ периодично. Доказана теорема конечности для кубических многочленов $f \in\mathbb K[x]$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ для расширений $\mathbb Q$ степени не более $6$. Получено описание периодических элементов $\sqrt{f}$ для кубических многочленов $f(x)$, определяющих эллиптические кривые с точками порядка $3 \le N\le 42$, $N \ne 37, 41$. Библиография: 19 названий.

Классическая проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей имеет большую и глубокую историю. До сих пор эта проблема была далека от полного решения. Удивительный результат был получен в статье [1] для квадратичных расширений, определяемых кубическими многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$: за исключением тривиальных случаев с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над $\mathbb{Q}$, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$. С учетом результатов статьи [1] в этой статье полностью решена проблема классификации многочленов $f$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь для эллиптических полей с полем рациональных чисел в качестве поля констант. Библиография: 29 наименований.

Представлены новые результаты, относящиеся к проблеме периодичности непрерывных дробей, в которые разлагаются квадратичные иррациональности в поле $K((h))$, где $K$ - поле характеристики, отличной от 2, $h \in K[x]$, $\deg h=1$. Пусть $f \in K[h]$ - свободный от квадратов многочлен и нормирование $v_h$ поля $K(x)$ имеет два продолжения $v_h^-$ и $v_h^+$ на поле $L=K(h)(\sqrt{f})$. Обозначим $S_h=\{v_h^-,v_h^+\}$. Глубокая связь между периодичностью непрерывных дробей в поле $K((h))$ и существованием $S_h$-единиц позволила далеко продвинуться в изучении периодических и квазипериодических элементов поля $L$, а также в вопросах, связанных с поиском фундаментальных $S_h$-единиц. С помощью нового эффективного алгоритма для поиска решений норменных уравнений в поле $L$ удалось найти примеры периодических непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}$, что является достаточно редким явлением. Для случая эллиптического поля $L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\deg f=3$, описаны все свободные от квадратов многочлены $f \in \mathbb{Q}[h]$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((h))$. Библиография: 16 названий.

Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей элементов эллиптических и гиперэллиптических полей было начато около 200 лет назад в классических работах Н.~Абеля и П.~Л.~Чебышева. В 2014 году В.~П.~Платоновым был предложен общий концептуальный метод, базирующийся на глубокой связи трех классических проблем: проблема существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях, проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и проблема периодичности непрерывных дробей элементов в гиперэллиптических полях. В 2015-2019 годах в работах В. П. Платонова с соавторами был достигнут большой прогресс в исследовании проблемы периодичности элементов в гиперэллиптических полях, в особенности в эффективной классификации таких периодических элементов. Так, например, в указанных работах В.~П.~Платонова с соавторами были найдены все эллиптические поля $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ такие, что $\sqrt{f}$ разлагается в периодическую непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((x))$, а также были получены дальнейшие продвижения в обобщении указанного результата, как на другие числовые поля констант, так и на гиперэллиптические кривые рода $2$ и выше. В настоящей статье мы приводим полное доказательство анонсированного нами в 2019 году результата о конечности числа эллиптических полей $k(x)(\sqrt{f})$ над произвольным числовым полем $k$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит $k$-точку четного порядка не превосходящего $18$ или $k$-точку нечетного порядка не превосходящего $11$. Для произвольного поля $k$ являющегося квадратичным расширением $\mathbb Q$ найдены все такие эллиптические поля, а для поля $k=\mathbb Q$ было получено новое доказательство конечности числа периодических $\sqrt{f}$, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.

This article proves the equivalence theorem for the following conditions: the periodicity of continued fractions of a generalized type for key elements hyperelliptic field L, the existence in the hyperelliptic field L of nontrivial S-units for sets S, consisting two valuations of degree one, and the existence of the torsion of a certain type in the Jacobian variety, associated with the hyperelliptic field L. This theorem allows in practice using continued fractions of a generalized type effectively search for fundamental S-units of hyperelliptic fields. We give an example of the hyperelliptic field of genus 3, showing all three equivalent conditions in the indicated theorem.