Unlike the Abel map of a symmetric power of a Riemann sur-face onto its Jacobian, the Abel-Prym map can generically not be inversedby means of conventional technique related to the Jacobi inversion prob-lem and its main ingredient, namely Riemann's vanishing theorem. Thisoccurs because replacing the Riemann theta function by the Prym one inthis theorem gives twice as many zeros as the dimension of the Prym vari-ety. However, if the Riemann surface has a second involution commutingwith the one defining the Prym variety and satisfying a certain additionalcondition, an analogue of the Jacobi inversion can be defined, and expressedin terms of the Prym theta function. We formulate these conditions andrefer to pairs of involutions satisfying them as pairs of the first type. Weformulate necessary conditions for a pair of involutions to be a pair of thefirst type, and give a series of examples of curves with such pairs of invo-lutions, which are mainly the spectral curves of Hitchin systems, and alsothe spectral curve of the Kovalevskaya system.

В отличие от отображения Абеля симметрической степени римановой поверхности на ее якобиан, отображение Абеля-Прима, вообще говоря, нельзя обратить с помощью стандартной техники, связанной с проблемой обращения Якоби и основанной на теореме Римана о нулях. Причиной является то, что при замене в этой теореме $\theta$-функции Римана на $\theta$-функцию Прима число нулей становится равным удвоенной размерности многообразия Прима, т.е. вдвое большим, чем требуется для обращения. Однако, если риманова поверхность допускает вторую инволюцию, коммутирующую с той, которая определяет многообразие Прима, и удовлетворяющую некоторым дополнительным условиям, аналог обращения Якоби может быть сформулирован и выражен в терминах $\theta$-функции Прима. Мы формулируем эти условия и называем пары инволюций, удовлетворяющие им, парами первого типа. Мы формулируем необходимые условия для того, чтобы пара инволюций была парой первого типа и даем серию примеров кривых, снабженных такими парами инволюций, главным образом спектральных кривых систем Хитчина, а также спектральной кривой системы Ковалевской. Библиография: 14 названий.

Sets of points that determine spectral curves can be regarded as phase coordinates of Hitchin systems. We address the problem of finding trajectories of Hitchin systems in these coordinates and solve it for systems with the structure groups SO(4) and SL(2) on genus 2 curves. Our method consists in transferring the straight line windings from invariant tori, which are given by the Prymians of the spectral curves for Hitchin systems with simple classical structure groups. The transfer is carried out by means of an analog of the Jacobi inversion map, which does not exist for Prymians in general but can be defined in the two cases in question.

Sets of points giving spectral curves can be regarded as phase coordinates of Hitchin systems. We address the problem of finding out trajectories of Hitchin systems in those coordinates. The problem is being solved for the systems with structure groups SO(4) and SL(2) on genus 2 curves. Our method is a transfer of straight line windings of fibers of the Hitchin map, which are given by Prymians of the spectral curves for the systems with simple classical structure groups. The transfer is carried out by means of an analog of the Jacobi inversion map, which does not exist for Prymians in general but can be defined in the two cases in question.

Наборы точек, задающие спектральные кривые, можно рассматривать как фазовые координаты систем Хитчина. Ставится задача нахождения траекторий систем Хитчина в этих координатах. Эта задача решается для систем со структурными группами $\mathrm {SO}(4)$ и $\mathrm {SL}(2)$ на кривых рода $2$. Метод решения - перенос прямолинейных обмоток с инвариантных торов, которые для систем Хитчина с простыми классическими структурными группами являются примианами спектральных кривых. Перенос осуществляется с помощью аналога обращения Якоби, которое для примианов, вообще говоря, не существует, но в рассматриваемых двух случаях может быть определено.

Наборы точек, задающие спектральные кривые, можно рассматривать как фазовые координаты систем Хитчина. Ставится задача нахождения траекторий систем Хитчина в этих координатах. Эта задача решается для систем со структурными группами $\mathrm {SO}(4)$ и $\mathrm {SL}(2)$ на кривых рода $2$. Метод решения - перенос прямолинейных обмоток с инвариантных торов, которые для систем Хитчина с простыми классическими структурными группами являются примианами спектральных кривых. Перенос осуществляется с помощью аналога обращения Якоби, которое для примианов, вообще говоря, не существует, но в рассматриваемых двух случаях может быть определено.

We give a survey of some recent advances in parabolic Hitchin systems (parabolic Beauville-Narasimhan-Ramanan correspondence, mirror symmetry for parabolic Hitchin systems), and in exact methods of solving the non-parabolic Hitchin systems. Bibliography: 55 titles.

Given an integrable system defined by a Lax representation with spectral parameter on a Riemann surface, we construct a unitary projective representation of the corresponding Lie algebra of Hamiltonian vector fields by means of operators of covariant derivatives with respect to the Knizhnik–Zamolodchikov connection. It is a Dirac-type prequantization of the integrable system from a physical point of view. Simultaneously, it establishes a correspondence between integrable systems in question and conformal field theories. In the present paper, we focus on systems whose spectral curves possess a holomorphic involution. Examples are presented by Hitchin systems of the types Bn, $${{C}_{n}}$$ , $${{D}_{n}}$$ , and also of the type An on hyperelliptic curves.

We present the correspondence between Lax integrable systems with spectral parameter on a Riemann surface, and Conformal Field Theories, in quite general set-up suggested earlier by the author. This correspondence turns out to give a prequantization of the integrable systems in question.

We describe a class of spectral curves and find explicit formulas for the Darboux coordinates of Hitchin systems corresponding to classical simple groups on hyperelliptic curves. We consider in detail the systems with rank 2 groups on genus 2 curves.

Дано описание класса спектральных кривых и найдены явные формулы для координат Дарбу систем Хитчина для классических простых групп на гиперэллиптических кривых. Разобраны примеры систем с группами ранга $2$ на кривых рода $2$.

We give a solution of the Inverse Scattering Problem for integrable systems with a finite number degrees of freedom, admitting a Lax representation with spectral parameter on a Riemann surface. While conventional approaches deal with the systems with $GL(n)$ symmetry, we focus on the problems arising in the case of symmetry with respect to a semi-simple group. Our main results apply to Hitchin systems of the types $B_n$, $C_n$, $D_n$.

В работе дается описание класса спектральных кривых и явные формулы для координат Дарбу систем Хитчина типов $A_l$, $B_l$, $C_l$ на гиперэллиптических кривых. Приведено текущее состояние задачи для систем $D_l$.

This paper describes a class of spectral curves and gives explicit formulas for the Darboux coordinates of the Hitchin systems of types Al, Bl, and Cl on hyperelliptic curves. The current state of the problem in the case of the systems of type Dl is described.