Исследуется вопрос об установлении связи между кинетическими уравнениями и уравнениями сплошной среды на основе групповых методов анализа дифференциальных уравнений. В продолжение предыдущих работ авторов рассматривается простейший одномерный случай. Изучаются уравнения с субмаксимальной (трехмерной) группой симметрий. Оказывается, что наличие внешнего силового поля требует радикального пересмотра постановки задачи не только в плане использования групповых методов, но и в общем контексте. А именно, оказывается, что рассматривать уравнения сплошной среды как редуцированную систему моментных уравнений нельзя, так как, вообще говоря, моментов высокого порядка (в нашем случае выше первого) просто нет. Однако использование групповых методов позволяет преодолеть эту кризисную, с точки зрения широко распространенных представлений, ситуацию, перейдя к фактически эквивалентной формулировке задачи, вообще не затрагивающей ни моментной системы, ни несуществующих моментных величин. Трансформированная таким образом постановка задачи оказалась, с одной стороны, родственной известному методу группового расслоения, несколько расширяющей само понимание этого метода, а с другой - дающей простой и эффективный общий способ решения проблемы связи кинетических уравнений с уравнениями сплошной среды.

In the context of the connection discovered in a preceding paper between left-invariant objects (both geometric and dynamical) defined on a Lie group and the algebra of right automorphisms (the dual algebra), we consider the representation of the main geometric characteristics via this algebra and the corresponding metric form. These characteristics are shown to be constant (independent of a point) and defined only by the structure constants of the dual algebra and the coefficients of the metric form. Due to this connection, it is possible to introduce the concept of normal forms of a Lie algebra. Reducing any algebra and any metric to normal form in fact consists in reducing two quadratic forms to canonical form: first, the metric is reduced to the sum of squares of linear differential forms, and then the constant matrix characterizing the Ricci tensor is reduced to diagonal form (with the principal curvatures appearing on the diagonal). It turns out that there are only two different normal forms for three-dimensional Lie algebras, each depending on three parameters associated with three principal curvatures in the general case.

В контексте обнаруженной в предыдущей работе связи левоинвариантных объектов (как геометрических, так и динамических), заданных на группе Ли, с алгеброй правых автоморфизмов (двойственной алгеброй) рассматривается представление через эту алгебру и соответствующую метрическую форму основных геометрических характеристик. Показано, что они являются постоянными (не зависят от точки) и определяются только структурными константами двойственной алгебры и коэффициентами метрической формы. Благодаря такой связи удается ввести понятие нормальных форм алгебры Ли. Приведение любой алгебры и любой метрики к нормальной форме состоит фактически в приведении двух квадратичных форм к каноническому виду: сначала к сумме квадратов линейных дифференциальных форм приводится метрика, а затем к диагональному виду приводится постоянная матрица, характеризующая тензор Риччи (и тогда на диагонали оказываются главные кривизны). Оказалось, что для трехмерных алгебр Ли имеются всего две различные нормальные формы, каждая зависит от трех параметров, связанных в общем случае с тремя главными кривизнами.

On a Lie group, we introduce a family of group-invariant metrics and show that the curves invariant under this group are spirals in all the introduced metrics (i.e., they have constant curvatures). An important role is played by an algebra, which we call dual, defined on the same group. The main relation between these algebras is that the trajectories of the one-parameter groups generated by one algebra are invariant curves in the metric that is invariant under the other algebra. The fact that these curves are spirals distinguishes our approach from that of Cartan, who considered the trajectories of one-parameter groups as geodesics in some metric. The presented results are related to the analysis of the geometric meaning of the previously obtained classification of one-dimensional kinetic equations, where invariant curves are the trajectories of particles.

A survey of the development of the traveling wave method for one-dimensional media is presented. The main results and changes in the statement of the problem of representing solutions of linear systems of partial differential equations in terms of “traveling waves” (more precisely, in terms of a system of wave transport equations) are presented. It is shown that as the study of systems becomes more complicated, the problem of representing the solution by the traveling wave method turns out to be applicable not only for hyperbolic systems but also for systems containing (even implicitly) both parabolic and elliptic components and thereby approaches the general problem of decomposition of an arbitrary system of linear equations into a system of first-order equations with a main part of the canonical type and with a subordinate linear part.

На группе Ли вводится семейство метрик, инвариантных относительно этой группы и показывается, что кривые, инвариантные относительно этой группы, во всех введенных метриках являются спиралями (т. е. имеют все постоянные кривизны). Оказывается, что существенную роль при этом играет алгебра, которая названа двойственной и задана на той же группе. Основным отношением между этими алгебрами является то, что траектории однопараметрических групп, порожденных одной алгеброй, являются инвариантными кривыми в метрике, инвариантной относительно другой алгебры. То, что эти кривые оказываются спиральными, отличается от подхода Картана, который рассматривал траектории однопараметрических групп как геодезические в некоторой метрике. Представленные результаты связаны с анализом геометрического смысла полученной ранее классификации одномерных кинетических уравнений, где инвариантные кривые представляли собой траектории частиц.

Асташова И.В., Барабанов Е.А., Боровских А.В., Бутузов В.Ф., Быков В.В., Ветохин А.Н., Глызин С.Д., Горицкий А.Ю., Денисова Н.В., Изобов Н.А., Ильин А.В., Ильяшенко Ю.С., Капустина Т.О., Кигурадзе И.Т., Козлов В.В., Колесов А.Ю., Коньков А.А., Ломов И.С., Моисеев Е.И., Палин В.В. и др.//Дифференциальные уравнения, 2021

Рассмотрено одномерное уравнение Больцмана $f_{t}+cf_{x}+(\mathcal{F}f)_{c}=0$ с функцией $\mathcal{F}$, зависящей от $(t,x,c,f)$. Получена полная групповая классификация таких уравнений в классе точечных замен всего набора переменных $(t,x,c,f)$. При этом на преобразования налагаются дополнительные условия инвариантности а) соотношений $dx=c dt$, $dc=\mathcal{F} dt$, б) прямых $dt=dx=0$ и в) формы $f dx dc$, фиксирующие физический смысл используемых переменных и связей между ними.

Проведена групповая классификация одномерного уравнения Больцмана относительно функции $\mathcal F=\mathcal F(t,x,c)$, характеризующей внешнее силовое поле, в предположении о наличии следующих вытекающих из физических соображений связей между переменными: $dx=c dt$, $dc=\mathcal F dt$, $dt=0$, $dx=0$. Показано, что для всех функций $\mathcal F$ алгебра конечномерна и ее максимальная размерность равна восьми, что соответствует уравнению с нулевой $\mathcal F$.

We present the group classification of the one-dimensional Boltzmann equation with respect to the function F = F(t, x, c) characterizing an external force field under the assumption that the physically meaningful constraints dx = c dt, dc = F dt, dt = 0, and dx =0 are imposed on the variables. We show that for all functions F, the algebra is finite-dimensional, and its maximum dimension is eight, which corresponds to the equation with a zero F.

We discuss an effect related to wave propagation in an inhomogeneous medium: the center of curvature of the wave front arriving at some point ( x , y , z ) proves to be moving at a velocity whose dependence on the radius of curvature is given by a quadratic trinomial. The coefficients of the trinomial are completely determined by the corresponding Riemannian metric at the observation point, the front orientation at the observation point, and the geometric parameters of the front (geodesic torsion) at the observation point. The resulting dependence is similar to the well-known Hubble law; however, in this case, the motion is not that of the source but of the center of curvature, which plays the role of a hypothetical source for an observer assuming that the ambient medium (or the perturbation propagation velocity) is homogeneous. The result is generalized to the case of an arbitrary medium in which the front equation t = ψ ( x ) is specified by a solution of the partial differential equation H ( ψ , x ,∇ ψ ) = 0 of the general form.

The methods of group analysis are applied to establish a classification of eikonal equations for anisotropic stationary media, g ij (x)ψ i ψ j  = 1. The equivalence group and the groups of symmetries are described. The classification is based on the fact that the Riemannian space (with the metric ds 2 = g ij (x) dx i dx j ) associated with the equation has a special structure, namely, that of a semi-homogeneous space: the metric form can be represented as \(ds^2=g_{\hat \imath\hat \jmath}(\hat x)\,dx^{\hat \imath}\,dx^{\hat \jmath}+G^2(\hat x) g_{\tilde \imath\tilde \jmath}(x)\,dx^{\tilde \imath}\,dx^{\tilde \jmath}\), where the principal part \(g_{\hat \imath\hat \jmath}(\hat x)\,dx^{\hat \imath}\,dx^{\hat \jmath}\) is the metric of a Riemannian space of constant curvature.

Educational problems are systemic and run into the main issue the objectives of education. To address this issue must proceed from the fact of changes in the realities of modern life namely that education is no longer to introduce the science and not to acquire a profession, but in order to gain something more general. That "something more general" is the possibility of being participated in a particular human activity.It is rational to change the concept of "human activity", considering it as a function not of the individual, but of a/the society. Being just involved to this activity, everyone carries out this or that personal role. Activity approach in the new version clarifies a number of relations between different notions of philosophy and pedagogy, reveals some known natural mechanisms of mental and social nature.On activity guidelines one can identify practical solutions to some problems in education and teaching activities, support the variety of pedagogical reasoning and build it into a single system.

This paper studies the wave propagation method in a many-dimensional medium in order to find the cases where the eiconal equation is integrated in an explicit compact form.