Рассматривается диффеоморфизм $f$, действующий в банаховом пространстве $E$ и допускающий замкнутое инвариантное множество $A$ (т.е. такое, что $f(A)=A$). Проводится сравнительный анализ двух имеющихся к настоящему времени различных определений гиперболичности множества $A$. Первое из них представляет собой классическое определение Д. В. Аносова и формулируется в терминах $Df$-инвариантного разложения $E_x^{\mathrm u}\oplus E_x^{\mathrm s}$, $x\in A$, исходного пространства $E$ в прямую сумму неустойчивого $E_x^{\mathrm u}$ и устойчивого $E_x^{\mathrm s}$ подпространств. Второе же из определений гиперболичности, предложенное в работах С. В. Зелика с соавторами, базируется на равномерной регулярности некоторого разностного оператора. Как показывается в настоящей статье, эти определения эквивалентны. Попутно устанавливаются актуальные для бесконечномерного случая факты равномерной ограниченности и равномерной непрерывности по $x\in A$ проекторов, отвечающих упомянутому выше разложению пространства $E$. Приводятся также достаточные условия, при которых сужение $f|_A$ обладает характерным для хаотической динамики свойством существенной зависимости траекторий $x_n=f^n(x)$, $n\in \mathbb{N}$, от начальной точки $x\in A$. Библиография: 35 названий.

A system of three ring-connected generators with asymmetric nonlinearity and special nonlinear coupling is considered. The investigated system simulates an electrical circuit of three identical generators. Each generator is an oscillatory circuit with a nonlinear element. The volt-ampere characteristic of this element has a $S$-shaped character. The nonlinear coupling between the generators is organized in such way that it has a transmission coefficient close to one in the forward direction and close to zero in the reverse direction. First, the problem of finding solutions branching from equilibrium states is studied by asymptotic methods. And then the initial system is investigated by numerical methods. The dependence of the system dynamics on the degree of asymmetry of cubic nonlinearity describing the characteristic of a nonlinear element is studied.

An infinite-dimensional torus T∞=lp/2πZ∞, where lp, p ≥ 1 – space of sequences, Z∞ – natural integer lattice in lp, is considered. We study the classical question in the theory of dynamical systems about the behavior of trajectories of a shift mapping on the specified torus. More precisely, some sufficient conditions are proposed that guarantee the emptiness of the ω-limit and α-limit sets of any of the shift mapping onto T∞.

Предлагается математическая модель нового феномена - многомерного гиперболического хаоса. Упомянутая модель представляет собой кольцевую цепочку из $N\geqslant 2$ однонаправленно связанных отображений двумерного тора $\mathbb{T}^2$ типа "кот Арнольда". Устанавливаются некоторые (не зависящие от $N$) достаточные условия, при выполнении которых и при любом натуральном $N\geqslant 2$ рассматриваемая цепочка порождает диффеоморфизм Аносова на торе $\mathbb{T}^{2N}$.

На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ - бесконечномерное вещественное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ - абстрактная целочисленная решетка, рассматривается специальный класс диффеоморфизмов $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Упомянутый класс состоит из отображений $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, для которых дифференциалы $DG$ и $D(G^{-1})$ равномерно ограничены и равномерно непрерывны на $\mathbb{T}^{\infty}$. Устанавливается справедливость для диффеоморфизмов из $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ классического результата конечномерной гиперболической теории, так называемого критерия конусов (т. е. критерия гиперболичности, формулирующегося в терминах полей инвариантных горизонтальных и вертикальных конусов). Библиография: 37 наименований.

On the infinite-dimensional torus T infinity = E/ 2 pi Z infinity , where E is an infinite-dimensional real Banach space, Z infinity is an abstract integer lattice, a special class of diffeomorphisms Diff(T infinity) is considered. This class consists of the mappings G : T infinity -> T infinity such that the differentials DG and D ( G - 1 ) are uniformly bounded and uniformly continuous on T infinity . For diffeomorphisms from Diff(T infinity), we establish the validity of the so-called cone criterion, which is a classical result of finite-dimensional hyperbolic theory (that is, the hyperbolicity criterion formulated in terms of fields of invariant horizontal and vertical cones).

The problem of density wave propagation is considered for a logistic equation with delay and diffusion. This equation, called the Kolmogorov–Petrovsky–Piscounov–Fisher equation with delay, is investigated by asymptotic and numerical methods. Local properties of solutions corresponding to this equation with periodic boundary conditions are studied. It is shown that an increase in the period leads to the emergence of stable solutions with a more complex spatial structure. The process of wave propagation from one and from two initial perturbations is analyzed numerically, which allows tracing the process of wave interaction in the second case. The complex spatially inhomogeneous structure arising during the wave propagation and interaction can be explained by the properties of the corresponding solutions of a periodic boundary value problem with an increasing range of the spatial variable.

A spatially distributed integro-differential equation with periodic boundary conditions is considered. It is assumed that the solution has zero mean over the spatial variable. The boundary value problem under consideration has a family of piecewise constant on the spatial variable solutions with one discontinuity point. The stability conditions for such solutions are defined. The existence of the piecewise constant solutions having more than one point of discontinuity is shown. During the numerical experiment, an algorithm based on the method of expansions in Fourier series has been used. With its help, it was expedient to calculate solutions to a boundary value problem that satisfies the condition of zero mean. We numerically study the behavior of the solutions to the boundary value problem for beta =6 1 outside the domain of an alpha-stable one-parameter family of piecewise constant solutions. The presence of alpha-stable piecewise constant solutions with more than one discontinuity point is shown. A numerical analysis of the dynamics of the boundary value problem has been carried out.

For the logistic equation with diffusion two generalizations are considered: one with time delay and the other with deviation in the spatial variable. For these equations, the problem of density wave propagation is considered. These equations, known as Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov–Fisher equations with delay or deviation (KPPF with delay or deviation), are investigated using both asymptotic and numerical methods.To investigate the qualitative behavior of solutions of such equations, the wave profile equation is considered and the conditions for the emergence of its oscillatory modes are identified.The local properties of solutions with periodic boundary conditions are examines, revealing that an increase in the period leads to the emergence of stable solutions with a more complex spatial structures.Numerical analysis of the wave propagation process indicates that at sufficiently small delay values, this equation has solutions that are close to those of the standard KPPF equation. Increasing the delay parameter leads first to the appearance of a damped oscillatory component in the spatial distribution of the solution. With further increases of this parameter, a complex spatial profile of the wave appears.In the final part of the chapter, which focuses on numerical calculation, the numerical analysis of the wave propagation process from two initial perturbations is performed. This analysis tracks the process of wave interaction. The complex spatially inhomogeneous structure that arises during wave propagation and interaction can be explained by the properties of the corresponding solutions of the periodic boundary value problem, especially as the interval of change in the spatial variable increases.

In this paper, we consider a spatially distributed equation with a periodic boundary condition and the zero integral mean condition in the spatial variable. The boundary-value problem under consideration has a family of solutions that are piecewise constant with respect to the spatial variable and have one discontinuity point. Conditions for the stability of such solutions are determined. The existence of piecewise constant solutions with more than one discontinuity point is shown. An algorithm for calculating solutions to a boundary-value problem by numerical methods is presented. A numerical analysis of the dynamics of the boundary-value problem is performed.

Рассматривается произвольный диффеоморфизм $f$ класса $C^1$, действующий из некоторого открытого подмножества $U$ риманова многообразия $M$ размерности $m$, $m\geqslant 2$, в $f(U)\subset M$. Предлагаются некоторые достаточные условия, при выполнении которых область $U$ представляет собой гиперболическую ловушку. Последнее означает, что любое подмножество $A\subset U$, $f(A)=A$, автоматически является гиперболическим множеством диффеоморфизма $f$. Добавим еще, что упомянутая гиперболическая ловушка симметрична в том смысле, что условия ее существования не меняются при переходе от $f$ к обратному отображению $f^{-1}$. Библиография: 23 названия.

We study the question, classical in the theory of dynamical systems, about the minimality of the shift on an infinite-dimensional torus; more precisely, the problem of finding sufficient conditions guaranteeing the absence of the minimality property is solved

We study the question, classical in the theory of dynamical systems, about the minimality of the shift on an infinite-dimensional torus; more precisely, the problem of finding sufficient conditions guaranteeing the absence of the minimality property is solved.

Local dynamics of a logistic equation with delay and a degenerate diffusion operator is considered. It is shown that the degeneration of the diffusion operator can lead to infinite -dimensional critical cases. Quasinormal forms are constructed that determine the dynamics of the original boundary value problem.

Рассматривается цепочка последовательно связанных $RCL$-контуров, к одному из концов которой подсоединен источник постоянного напряжения $E$, а к другому - туннельный диод и постоянная емкость $C_0$. Показано, что математической моделью данного генератора служит некоторая нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой, в свою очередь, реализуется известное явление буферности. А именно, с помощью сочетания аналитических и численных методов устанавливается неограниченный рост числа сосуществующих аттракторов этой системы при увеличении количества $RCL$-контуров и при надлежащем изменении остальных параметров. Проводится также сравнительный анализ локальной динамики в дискретной и непрерывной $RCL$-линиях.

March 14, 2023 celebrates the 70th anniversary of Sergei Aleksandrovich Kashchenko - an outstanding mathematician, doctor of physical and mathematical sciences, professor.

We consider a chain of in-series RCL circuits; a constant-voltage source E is connected to one of its ends, and a tunnel diode and a constant capacitor C_0 to another one. We show that a nonlinear system of ordinary differential equations in which the known buffer capacity phenomenon is realized serves as a mathematical model of the given generator. Namely, using the combination of analytic and numerical methods, we establish an unlimited growth of the number of coexisting attractors of this system as the number of RCL circuits increases and the other parameters change appropriately. We also perform a comparative analysis of the local dynamics in the discrete and continuous RCL circuits.

На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ - бесконечномерное вещественное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ - абстрактная целочисленная решетка, рассматривается специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Упомянутый класс состоит из отображений $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, для которых дифференциалы $DG$ и $D(G^{-1})$ равномерно ограничены и равномерно непрерывны на $\mathbb{T}^{\infty}$. Для диффеоморфизмов из $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ дается систематическое изложение элементов гиперболической теории, начиная с основных определений и ряда вспомогательных утверждений и заканчивая более продвинутыми результатами. К последним относятся критерий гиперболичности, теорема о $C^1$-грубости свойства гиперболичности для диффеоморфизмов из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, теорема Адамара-Перрона, а также один из базовых результатов гиперболической теории: существование у любого диффеоморфизма Аносова $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений. Библиография: 34 названия.

A mathematical model of the simplest three-link oscillatory gene network, the so-called repressilator, is considered. This model is a nonlinear singularly perturbed system of three ordinary differential equations. The existence and stability of a relaxation periodic solution invariant with respect to cyclic permutations of coordinates are investigated for this system.