Рассматривается некоторый естественный класс растягивающих эндоморфизмов $G\in C^1$, действующих из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $\mathbb{T}^{\infty}$, где $\mathbb{T}^{\infty}$ - бесконечномерный тор (прямое произведение счетного числа окружностей с топологией равномерной покоординатной сходимости). Интересующие нас эндоморфизмы допускают представление в виде суммы линейного растягивающего отображения и периодической добавки. Устанавливаются следующие стандартные факты из гиперболической теории: топологическая сопряженность растягивающего эндоморфизма $G$ из нашего класса с линейным эндоморфизмом тора, структурная устойчивость отображения $G$, справедливость для $G$ на $\mathbb{T}^{\infty}$ свойства топологического перемешивания.

Рассматриваются неособые эндоморфизмы m-мерного тора T, m > 2, представляющие собой C-возмущения линейных гиперболических эндоморфизмов. Устанавливаются некоторые достаточные условия, гарантирующие гиперболичность таких отображений (т.е. принадлежность их к эндоморфизмам Аносова). Библиография: 8 названий. Ключевые слова: эндоморфизм, гиперболичность, тор, эндоморфизм Аносова. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11847

We consider a mathematical model of synaptic interaction between two pulse neuron elements. Each of the neurons is modeled by a singularly-perturbed difference-differential equation with delay. Coupling is assumed to be at the threshold, and time delay is taken into consideration. Problems of existence and stability of relaxation periodic movements for obtained systems are considered. It turns out that the ratio between the delay due to internal causes in a single neuron model and the delay in the coupling link between oscillators is crucial. Existence and stability of a uniform cycle of the problem is proved for the case where the delay in the link is less than a period of a single oscillator that depends on the internal delay. As the delay grows, the in-phase regime becomes more complex, particularly, it is shown that by choosing a suitable delay, we can obtain more complex relaxation oscillation and inside a period interval the system can exhibit not one but several high-amplitude splashes. This means that bursting-effect can appear in a system of two synaptic coupled oscillators of neuron type due to a delay in a coupling link.

А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов Инвариантные торы одного класса нелинейных эволюционных уравненийРассматривается некоторый достаточно широкий класс нелинейных эволюционных уравнений в банаховом пространстве, включающий в себя типовые краевые задачи для основных волновых уравнений математической физики (телеграфного уравнения, уравнения колебаний балки, различных уравнений из теории упругой устойчивости и т.д.).Предлагается единый подход к решению вопроса о

2012 г. март апрель т. 67, вып. 2 (404) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 517.

А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов Теория релаксационных колебаний для уравнения ХатчинсонаВ настоящей работе для известного уравнения Хатчинсона из экологии, представляющего собой скалярное уравнение с запаздыванием, строится полная асимптотика устойчивого релаксационного цикла в виде рядов по целым степеням некоторого малого параметра.Развитая на этом пути техника асимптотического интегрирования применяется затем к исследованию вопроса об аттракторах системы связанных уравнений Хатчинсона, взаимодействующих по кольцевому принципу.