Изучается эволюция размера популяции критического процесса Гальтона-Ватсона с бесконечной дисперсией числа потомков частиц в предположении, что количество частиц в процессе в далекий момент времени $n$ необычайно мало.

Изучается асимптотическое поведение вероятностей малых уклонений критического процесса Гальтона-Ватсона с бесконечной дисперсией числа непосредственных потомков частиц. Полученные результаты применяются к исследованию структуры редуцированного критического процесса Гальтона-Ватсона в предположении, что исходный процесс имеет малое уклонение. Библиография: 24 названия.

Пусть \begin{equation*} S_{0}=0,\qquad S_{n}=X_{1}+…+X_{n},\quad n\geqslant 1, \end{equation*} - случайное блуждание, приращения которого принадлежат (без центрирования) области притяжения устойчивого распределения, а $a_{n}$ - нормирующие константы, обеспечивающие сходимость при $n\to\infty$ распределений последовательности $\{S_{n}/a_{n}, n=1,2,…\}$ к этому устойчивому распределению. Пусть $L_{r,n}=\min_{r\leqslant m\leqslant n}S_{m}$ - минимум случайного блуждания на интервале $[r,n]$. Показано, что в зависимости от соотношений между параметрами $r$, $k$ и $n$ предел \begin{equation*} \lim_{n,r,k\rightarrow \infty }\mathbf{P}( L_{r,n}\leqslant ya_{k}\mid S_{n}\leqslant ta_{k},L_{0,n}\geqslant 0), \quad t\in(0,\infty), \end{equation*} может иметь пять различных выражений.

Пусть $\{S_{n}, n\geqslant 0\}$ - случайное блуждание, распределение шага которого принадлежит без центрировки области притяжения устойчивого распределения индекса $\alpha $, т.е. существует такая нормирующая последовательность констант $a_{n}$, что последовательность $S_{n}/a_{n}$, $n=1,2,…$, слабо сходится при $n\to \infty $ к случайной величине, имеющей устойчивое распределение индекса $\alpha $. Пусть $S_{0}=0$, $$ L_{n}:=\min (S_{1},…,S_{n}),\qquad\tau _{n}:=\min \{ 0\leqslant k\leqslant n\colon S_{k}=\min (0,L_{n})\} . $$ В предположении, что $S_{n}\leqslant h(n)$, где функция $h(n)$ имеет порядок $o(a_{n})$ при $n\to\infty$ и $\lim_{n\to \infty }h(n)\in [ -\infty,+\infty ]$ существует, доказан ряд предельных теорем, описывающих асимптотическое поведение функционалов вида $$ \mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}}; S_{n}\leqslant h(n)], \qquad \lambda>0, $$ при $n\to \infty $. Полученные результаты используются при исследовании вероятности невырождения критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в экстремально неблагоприятной среде. Библиография: 15 названий.

Пусть $\{S_n, n\geqslant 0\} $ - случайное блуждание, приращения которого принадлежат без центрирования области притяжения устойчивого распределения индекса $\alpha$, т.е. существует такой процесс $\{Y_t, t\geqslant 0\}$, что $S_{nt}/a_{n}$ $\Rightarrow$ $Y_t$, $t\geqslant 0$, при $n\to\infty$ для некоторых нормирующих констант $a_n$. Предполагая, что $S_{0}=o(a_n)$ и $S_n\leqslant \varphi (n)=o(a_n)$, мы доказываем ряд условных предельных теорем для распределения случайной величины $S_{n-m}$, предполагая, что $m=o(n)$ и $\min_{0\leqslant k\leqslant n}S_k\geqslant 0$. Эти теоремы дополняют утверждения, установленные Ф. Каравенной и Л. Шамоном в 2013 г. Полученные результаты используются при исследовании размера популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной случайной среде. Библиография: 28 названий.

Пусть $Z_{n},n=0,1,2,…\} $ - критический ветвящийся процесс в случайной среде, а $\{ S_{n},n=0,1,2,…\} $ - его сопровождающее случайное блуждание. Известно, что если приращения этого случайного блуждания принадлежат (без центрирования) области притяжения устойчивого закона, то существует такая правильно меняющаяся на бесконечности последовательность $a_{1},a_{2},…$, что при $n\rightarrow \infty$ условные распределения \begin{equation*} \mathbf{P}(\frac{S_{n}}{a_{n}}\leq x|Z_{n}>0),\quad x\in (-\infty,+\infty), \end{equation*} слабо сходятся к распределению строго положительной и собственной случайной величины. В данной работе мы дополняем этот результат описанием асимптотического поведения вероятности \begin{equation*} \mathbf{P}(Z_{n}>0, S_{n}\leq \varphi (n)), \end{equation*} если $\varphi (n)\rightarrow \infty$ при $n\rightarrow \infty$ таким образом, что $\varphi (n)=o(a_{n})$.

Рассматривается ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона с двумя типами частиц, в котором частицы первого типа производят как потомков первого типа, так и потомков второго типа, а частицы второго типа порождают лишь потомков своего типа. Известно, что если оба типа критические, то для процесса, начавшегося в момент $0$ с одной частицы первого типа, число частиц второго типа в момент $n$ (при условии невырождения процесса к этому моменту) пропорционально $n$. В работе найдена асимптотика вероятности того, что число частиц второго типа в момент $n$ (при условии невырождения процесса к этому моменту) имеет порядок $o(n) $.

Рассматривается критический ветвящийся процесс $\{Y_n, n\geq 0\}$, эволюционирующий в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, к каждому поколению которого присоединяется ровно один иммигрант. Обозначим через $\mathcal A_i(n)$ событие, состоящее в том, что все индивидуумы, существующие в процессе в момент $n$, являются потомками иммигранта, присоединившегося к популяции в момент $i$. Исследуется распределение случайной величины $Y_n$ при $n\to \infty $ в предположении, что событие $\mathcal A_i(n)$ произошло, а момент $i$ либо фиксирован, либо близок к $n$, либо стремится к бесконечности, но далек от $n$.$\qquad $

Пусть $\mathcal{F}_{n,N}=\{ F_{n,N}\} $ - множество всех лесов, каждый из которых образован $N$ помеченными корневыми деревьями $T_{1},T_{2},\ldots ,T_{N}$, имеющими в совокупности $n+N$ вершин (считая корни), причем вершинам приписаны несовпадающие метки (числа от $1$ до $n+N$). Обозначим $\lambda (u)$ метку, приписанную вершине $u$ леса $F_{n,N}$. Будем говорить, что вершина $u$ дерева $T_{i}$ является предком вершины $v$ того же дерева и писать $u\prec v$, если путь, ведущий по ребрам от корня дерева к вершине $v$, проходит через вершину $u$. Числом инверсий $\mathcal{I}(F_{n,N})$ в лесе $F_{n,N}$ называется число таких пар вершин $u,v$ в этом лесе, что $u\prec v$ и $\lambda (u)>\lambda (v)$. При условии, что лес $F_{n,N}$ выбирается случайно и равновероятно из множества $\mathcal{F}_{n,N}$, найдено предельное распределение случайной величины $n^{-3/2}\mathcal{I}(F_{n,N})$ при $n\rightarrow \infty $ и $2Nn^{-1/2}\rightarrow l\in \lbrack 0,\infty ).$

Рассматривается неразложимый ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона со счетным множеством типов частиц. Предполагая, что процесс является критическим, а частицы некоторых (или всех) его типов могут иметь бесконечную дисперсию числа непосредственных потомков, мы описываем асимптотическое поведение вероятности невырождения процесса и доказываем условную предельную теорему ягломовского типа о распределении бесконечномерного вектора числа частиц всех типов. Библиография: 20 названий.

Исследуется асимптотическое поведение вероятности невырождения многотипных ветвящихся процессов в случайной среде. В случае одного типа частиц класс рассматриваемых процессов соответствует промежуточно докритическим процессам. При достаточно общих предположениях о форме производящих функций законов размножения частиц доказано, что вероятность невырождения процесса к далекому моменту времени $n$, начавшегося в нулевой момент времени с одной частицы какого-либо типа, имеет порядок $\lambda^{n}n^{-1/2}$, где $\lambda \in (0,1)$ - константа, определяемая в терминах показателя Ляпунова для произведений матриц средних значений законов размножения частиц. Библиография: 21 название.

Рассматривается докритический ветвящийся процесс в случайной среде, компоненты которой одинаково распределены и независимы. Предполагается, что к каждому поколению частиц присоединяется ровно один иммигрант. Пусть $\mathcal{A}_i(n)$ - событие, состоящее в том, что все частицы основного процесса, живущие в момент $n$, являются потомками иммигранта, присоединившегося к популяции в момент $i$. Исследуется асимптотическое поведение вероятности этого события при $n\to\infty$ в случаях, когда $i$ фиксировано, разность $n-i$ постоянна и, наконец, когда $\min(i,n-i)\to\infty$. Для нахождения интересующих нас асимптотик мы доказали несколько предельных теорем о свойствах случайных блужданий, остающихся либо неотрицательными, либо неположительными на промежутке $[0,n]$.

Рассматривается многотипный ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона в случайной среде, задаваемой последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. В предположении, что приращение $X$ сопровождающего случайного блуждания, порожденного логарифмами перроновых корней матриц средних этого процесса, удовлетворяет условиям $\mathbf{E}X<0$ и $\mathbf{E}Xe^{X}>0,$ а матрицы средних процесса имеют общий неслучайный левый собственный вектор, найдена асимптотика вероятности невырождения процесса в далекий момент времени.

Доказана условная предельная теорема о распределении размера популяции на начальном этапе эволюции слабо докритического ветвящегося процесса в случайной среде при условии его невырождения к далекому моменту времени.

Рассматривается критический ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона $\{ Z(n), n\geq 0\} $ с конечной дисперсией числа потомков частиц. Предполагая, что $00$, либо $\varphi(n)=o(n)$ при $n\to \infty $, мы исследуем структуру процесса $\{ Z(m,n), 0\leq m\leq n\}$, где $Z(m,n)$ - число частиц в исходном процессе в момент $m\leq n$, имеющих положительное число потомков в момент $n$.

Рассматривается критический ветвящийся процесс Беллмана-Харриса $\{ Z(t), t\geq 0\} $ с конечной дисперсией числа потомков частиц. Предполагая, что $00$, мы исследуем структуру процесса $ \{ Z(s,t),0\leq s\leq t\} ,$ где $Z(s,t)$ - число частиц в исходном процессе в момент $s$, которые либо дожили до момента $t,$ либо имеют положительное число потомков в этот момент.

Рассматривается критический разложимый ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона с двумя типами частиц, в котором частицы первого типа производят в конце жизни как потомков первого типа, так и потомков второго типа, а частицы второго типа порождают в момент гибели лишь потомков своего типа. В предположении, что распределение числа потомков у частицы каждого типа может иметь бесконечную дисперсию, найдена асимптотика хвоста распределения случайной величины $\Xi _{2}$ - совокупного числа частиц второго типа, появившихся в процессе до момента его вырождения. Доказаны предельные теоремы, описывающие (при $N\rightarrow \infty $) условное распределение числа частиц первого типа в различных поколениях, как при условии $\Xi _{2}=N$, так и при условии $\Xi _{2}>N.$

Изучается асимптотика вероятности невырождения многотипного критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. При достаточно общих предположениях, накладываемых на характеристики производящих функций численности потомства частиц, показано, что для процесса, стартовавшего в нулевой момент времени с одной частицы типа $i$, вероятность невырождения к далекому моменту времени $n$ пропорциональна $\beta_in^{-1/2}$, где $\beta_i$ - положительная константа. Это утверждение является существенным обобщением ряда ранее известных результатов.