За почти два века, которые прошли с постановки Гауссом задачи Дирихле для уравнения Лапласа, этой тематике и различным ее обобщениям посвящены исследования многих известных математиков. Получено много интересных и важных, ставших уже классическими результатов. Настоящая работа является расширенным изложением доклада автора на международной конференции, посвященной столетию со дня рождения В. С. Владимирова. Основным ее содержанием является обзор результатов в этом направлении, включающий в себя доказательства новых утверждений и обсуждение нерешенных задач. Целью является убедить читателя в том, что даже в случае линейного уравнения в этой "основной" задаче математической физики далеко не все известно: в этом направлении имеется много интересных и важных нерешенных вопросов.

Работа посвящена развитию аппарата $s$-мерно непрерывных функций, необходимого для применения в задаче Дирихле для эллиптического уравнения. Это обобщение пространства непрерывных функций позволило расширить понятия классического и обобщенного решений задачи Дирихле. Изучается связь этих пространств $s$-мерно непрерывных функций с другими известными функциональными пространствами. Это исследование потребовало нового (как нам кажется, более удачного и близкого к классическому) построения $s$-мерно непрерывных функций, которое в свою очередь привело к получению новых свойств этих пространств. В работе доказаны теоремы вложения пространства $C_{s,p}(\overline Q)$ в $C_{s',p'}(\overline Q)$ с $s'>s$ и $p'>p$, в частности в $ L_q(Q)$. Ранее было установлено вложение $W^1_2(Q)$ в $C_{n-1,2}(\overline Q)$, которое обеспечивает $(n-1)$-мерную непрерывность обобщенных решений; в настоящей работе доказано более общее вложение $W^1_r(Q)$ в $C_{s,p}(\overline Q)$ и подтверждена точность показателей в этих вложениях. Библиография: 33 названия.

Работа посвящена исследованию граничного поведения решений эллиптического уравнения второго порядка. При тех же условиях на коэффициенты уравнения, при которых доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле с граничной функцией из $L_p$, $p>1$, установлены критерии существования граничного значения решения однородного уравнения. В частности, доказан аналог известной теоремы Ф. Рисса (о граничных значениях аналитической функции): если семейство норм в пространстве $L_p$ следов решения на "параллельных" границе поверхностях ограничено, то данное семейство следов сходится в $L_p$. Это означает, что рассматриваемое решение уравнения является решением задачи Дирихле с некоторым граничным значением из $L_p$. Для такого решения справедливы оценки некасательной максимальной функции и аналога интеграла площадей Лузина, которые позволяют утверждать, что граничное значение принимается в существенно более сильном смысле. Библиография: 57 названий.

Рассматривается обобщающая понятия классического и обобщенного решений постановка задачи Дирихле, в которой решение принадлежит пространству $(n-1)$-мерно непрерывных функций со значениями в пространстве $L_p$. Свойство $(n-1)$-мерной непрерывности аналогично классическому определению равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке рассматриваются ее следы на мерах из специального класса - элементы $L_p$ по этим мерам. К настоящему времени в рассматриваемой постановке задача исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, гарантирующим разрешимость задачи. Этому вопросу посвящены основные результаты работы. Обсуждаются термины, в которых такие условия выражаются. Кроме того, исследуется зависимость поведения решения вблизи границы от правой части. Библиография: 47 названий.

Работа посвящена исследованию свойств решения задачи Дирихле с граничной функцией из $L_p$, $p>1$, для однородного эллиптического уравнения второго порядка. При тех же условиях на коэффициенты уравнения и границу рассматриваемой ограниченной области, при которых исследована разрешимость этой задачи, устанавливается оценка нормы в $L_p$ некасательной максимальной функции через $L_p$-норму граничного значения. Обоснование этого результата базируется на доказанной в работе оценке некасательной максимальной функции через аналог интеграла площадей Лузина. Библиография: 31 название.

Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с измеримыми и ограниченными коэффициентами.При условии непрерывности по Дини коэффициентов при старших производных на границе

НЕКОТОРОЕ УСИЛЕНИЕ СВОЙСТВА ВНУТРЕННЕЙНЕПРЕРЫВНОСТИ ПО ГЁЛЬДЕРУ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО