Рассматривается класс $\mathbb {G}_k^{diff}(M^n;0,0,1)$, состоящий из удовлетворяющих аксиоме A Смейла диффеоморфизмов $f: M^n\to M^n$ замкнутого $n$-мерного ориентируемого многообразия $M^n$, $n\geq 3$, неблуждающее множество $\mathrm {NW}(f)$ которых состоит из следующих базисных множеств: (а) $k\geq 1$ нетривиальных базисных множеств, каждое из которых является либо ориентируемым связным растягивающимся аттрактором коразмерности $1$, либо ориентируемым связным сжимающимся репеллером коразмерности $1$; (б) ровно одного тривиального базисного множества, которое является изолированным седлом, причем сепаратрисы седла не пересекаются. Для диффеоморфизмов из $\mathbb {G}_k^{diff}(M^n;0,0,1)$ построен полный инвариант глобальной сопряженности на их неблуждающих множествах, который представляет собой оснащенный граф. Приводится описание топологической структуры несущих многообразий $M^n$ для диффеоморфизмов из множества $\mathbb {G}_k^{diff}(M^n;0,0,1)$, $n\geq 3$, $n\neq 4$, $k\geq 2$.

Доказывается, что в каждом гомотопическом классе непрерывных отображений двумерного тора, индуцирующих гиперболическое действие в фундаментальной группе и не содержащих растягивающих отображений, существует $A$-эндоморфизм $f$, неблуждающее множество которого состоит из притягивающего гиперболического стока и нетривиального одномерного сжимающегося репеллера, который является одномерной ориентируемой ламинацией, локально гомеоморфной прямому произведению канторова множества на отрезок. Более того, неустойчивое $Df$-инвариантное подрасслоение касательного пространства к репеллеру обладает свойством единственности. Библиография: 23 названия.

В статье описывается топологическая структура замкнутых многообразий размерности не меньшей четырех, на которых существуют диффеоморфизмы Морса-Смейла такие, что их неблуждающее множество содержит произвольное число стоковых периодических точек, произвольное число источниковых периодических точек и две седловые периодические точки. Приводится также описание несущих многообразий диффеоморфизмов Морса-Смейла с меньшим числом седловых периодических точек. Библиография: 13 названий.

Рассматривается класс регулярных гомеоморфизмов Смейла, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа периодических орбит, имеющих гиперболический тип, на замкнутых топологических многообразиях. Этот класс содержит диффеоморфизмы Морса-Смейла на замкнутых гладких многообразиях. Для регулярных гомеоморфизмов Смейла приводятся необходимые и достаточные условия сопряженности. Библиография: 26 названий.

Системы Морса-Смейла естественным образом возникают в приложениях при математическом моделировании процессов с регулярной динамикой (например, в цепочках связанных отображений, описывающих реакции диффузии, или при изучении топологии магнитных полей в проводящей среде, в частности при исследовании вопроса существования сепараторов в магнитных полях хорошо проводящих сред). Поскольку математические модели в форме систем Морса-Смейла появляются при описании процессов, имеющих разную природу, первым шагом в изучении таких моделей является выделение свойств, не зависящих от физического контекста, но определяющих разбиение фазового пространства на траектории. Отношение, сохраняющее разбиение на траектории с точностью до гомеоморфизма, называется топологической эквивалентностью, а отношение, сохраняющее дополнительно время движения по траекториям (непрерывное в случае потоков и дискретное в случае каскадов), называется топологической сопряженностью. Задача топологической классификации динамических систем состоит в поиске инвариантов, однозначно определяющих класс эквивалентности или сопряженности для заданной системы. Настоящий обзор посвящен изложению результатов по топологической классификации систем Морса-Смейла на замкнутых многообразиях, включая результаты, полученные авторами в последнее время. Также приведены недавние результаты авторов, относящиеся к взаимосвязи между глобальной динамикой таких систем и топологической структурой несущих многообразий. Библиография: 112 названий.

В статье строится пример диффеоморфизма $3$-мерной сферы с положительной топологической энтропией, который имеет одномерное соленоидальное базисное множество с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым инвариантными многообразиями в каждой точке (в частности, базисное множество не является ни аттрактором, ни репеллером). Построенный диффеоморфизм служит основой для конструкции недиссипативного быстрого кинематического динамо с одномерным инвариантным соленоидальным множеством. Библиография: 22 названия.

Рассматриваются непрерывные потоки Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит из трех состояний равновесия, на замкнутых многообразиях. Получены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности таких потоков и описана топологическая структура несущих многообразий. Библиография: 36 названий.