Цель работы - продемонстрировать связи между свойствами расстояния Громова-Хаусдорфа и гипотезой Борсука. Числом Борсука данного ограниченного метрического пространства $X$ называется точная нижняя грань кардинальных чисел $n$, таких, что $X$ можно разбить на $n$ меньших частей (в смысле диаметра). В предположении, что диаметр и мощность одного ограниченного метрического пространства меньше, чем диаметр и число Борсука другого ограниченного метрического пространства соответственно, выведена точная формула для расстояния Громова-Хаусдорфа между этими пространствами. Также получен ряд следствий, основанных на результатах П. Бекона об эквивалентности задач Борсука и Люстерника-Шнирельмана.

В работе изучается взаимосвязь между расстоянием Громова — Хаусдорфа и задачами дискретной оптимизации. Расстояние Громова — Хаусдорфа до метрического пространства с одинаковыми непутевыми расстояниями используется используется для решения следующих проблем: вычисление длин ребер минимального остовного дерева для конечного метрического пространства; обобщенная пробам Борсука; вычисление хроматическогочисла и минимального размера клинкового покрытия для простого графа.

Построена реализация «прямолинейной» геодезической, лежащей в пространстве Громова - Хаусдорфа, в виде кратчайшей геодезической относительно расстояния Хаусдорфа в некотором объемлющем метрическом пространстве.

В работе изучаются геометрические характеристики метрических пространств, участ-вующие в формулах расстояний Громова–Хаусдорфа от этих пространств до так называе-мых симплексов, т.е. метрических пространств, в которых все ненулевые расстояния равнымежду собой. При вычислении этих расстояний важную роль играет геометрия разбиенийэтих пространств, приводящая, в случае конечных пространств, к аналогу длин реберминимального остовного дерева. Ранее была разработана аналогичная теория для ком-пактных метрических пространств. Эти результаты обобщены на случай произвольногоограниченного пространства, упрощая при этом ряд доказательств, а также выписываяявные формулы

А. О. Иванов, А. А. Тужилин Геометрия внутренних остовных деревьев для плоских многоугольниковДля многоугольников на плоскости изучается геометрия минимальных внутренних остовных деревьев, т. е. таких остовных деревьев, ребра-отрезки которых лежат в этих многоугольниках.Построены аналоги диаграммы Вороного и триангуляции Делоне, доказано, что минимальное внутреннее остовное дерево является подграфом соответствующей триангуляции Делоне

А. О. Иванов, А. А. Тужилин Одномерная проблема Громова о минимальном заполненииСтатья посвящена новому направлению в теории одномерных вариационных задач с разветвленными экстремалями -исследованию одномерных минимальных заполнений, введенных в рассмотрение авторами.Являясь частным случаем обобщения проблемы Громова о минимальных заполнениях на стратифицированные многообразия, рассматриваемая проблема имеет самостоятельный интерес и может быть представлена также как обобщение другой классической задачи, а именно проблемы Штейнера о поиске кратчайшей сети, соединяющей заданные терминалы

Стабилизация локально минимальных деревьев А. О. Иванов, А. А. Тужилин В данной работе доказано, что каждое локально минимальное дерево в евклидовом пространстве можно "стабилизировать", т.е.его можно превратить в кратчайшее

We single out the class of so-called quasiregular Lagrangians, which have singularities on the zero section of the cotangent bundle to the manifold on which extremal networks are considered. A criterion for a network to be extremal is proved for such Lagrangians: the Euler--Lagrange equations must be satisfied on each edge, and some matching conditions must be valid at the vertices.