This paper is on the classical Knotting Problem: for a given manifold N and a number m describe the set of isotopy classes of embeddings $N\to S^m$. We study the specific case of knotted tori, i. e. the embeddings $S^p \times S^q \to S^m$. The classification of knotted tori up to isotopy in the metastable dimension range $m>p+\frac{3}{2}q+2$, $p\le q$, was given by A. Haefliger, E. Zeeman and A. Skopenkov. We consider the dimensions below the metastable range, and give an explicit criterion for the finiteness of this set of isotopy classes in the 2-metastable dimension: Theorem. Assume that $p+\frac{4}{3}q+22p+q+2$. Then the set of smooth embeddings $S^p \times S^q \to S^m$ up to isotopy is infinite if and only if either $q+1$ or $p+q+1$ is divisible by 4. Our approach to the classification is based on an analogue of the Koschorke exact sequence from the theory of link maps. This sequence involves a new $\beta$-invariant of knotted tori. The exactness is proved using embedded surgery and the Habegger-Kaiser techniques of studying the complement.

Математические заметкиТом 81 выпуск 3 март 2007 УДК 513.83+515.1 π-π-теорема для пар многообразий с границами Ю. В. Муранов, Д. Реповш, М. Ценцель Препятствие к перестройке нормального отображения в простую пару Пуанкаре (X, Y ) лежит в относительной группе препятствий к перестройкам L * (π1(Y ) → π1(X)).Хорошо известный результат Уолла, так называемая π-πтеорема, утверждает, что в высоких размерностях нормальное отображение многообразия с границей в простую пару Пуанкаре с π1(X) ∼ = π1(Y ) нормально бордантно простой гомотопической эквивалентности пар.Для изучения нормальных отображений в многообразие с подмногообразием Уолл ввел группы препятствий к перестройкам для пар многообразий LP * и группы препятствий к расщеплению LS * .В данной работе для пар многообразий с границами сформулированы и доказаны результаты, которые аналогичны π-π-теореме.Мы даем прямые геометрические доказательства, которые опираются на оригинальные результаты Уолла, и применяем полученные результаты к исследованию перестроек многообразий с фильтрацией.Библиография: 8 названий.

A@ B C3 ED EF HG PI RQ TS TS UQ V XW "Y acb ed f hg pi rq ts vu Tw Pi ru Uq tx "u Ty i aq f hw Pu r x $ w y T f f hq q tx q t y u T q ti r d Ue gf he ji $k Xl nm po 6q rm ps ut pv we jf Rx zy Hm p{ v| ~} t c e j m p u zs r{ z 6 j e e g u c g j z X p p j ¢¡ £ 6 6 u z ¤ ¥ ¦ § X e ¨¤ ¢ ~© j ¦ ¦Ëª 6 «¤ ¥ § X g ¨¤ C¬ ® g g c° ± j ¦ ² " j g¥ c p p § ³ p j 6 c ¦ g µ¦¹ º e n ¨ ¦² n p c c ¥ ¬ ® g g jÄ r c z µ g p ¦ c ¦ ² ² Ä ± p z ¨¤ ¶ •