We introduce the concepts of lower and upper Loeb-integrals for an internal integration structure. These are concepts which are similarly useful for Loebs internal integration theory as the concepts of inner and outer Loeb-measures for Loebs measure theory.

Let (X,A) be a measurable space, (Y,delta) be a metric space with Borel-sigma-algebra B and f : X --> Y be a function. If (Y, delta) is a sigma-compact space, then it is shown that the A, B-measurability of f is equivalent to the fact that the standard part of *f is constant on A-monads, a result which is not true any more if we replace "sigma-compact" by "locally compact". We moreover prove nonstandard criteria for special classes of A, B-measurable functions with values in an arbitrary metric space.

We prove for random variables with values in the space D[0, 1] of cadlag functions - endowed with the supremum metric - that convergence in law is equivalent to nonstandard constructions of internal S-cadlag processes, which represent up to an infinitesimal error the limit process. It is not required that the limit process is concentrated on the space C[0, 1], so that the theory is applicable to a wider class of limit processes as e.g. to Poisson processes or Gaussian processes. If we consider in D[0, 1] the Skorokhod metric instead of the supremum metric - we obtain a corresponding equivalence to constructions of internal processes with S-separated jumps. We apply these results to functional central limit theorems.

It is proven that a stationary process of pairwise independent ran- dom variables with values in a separable metric space is weakly ergodic, i.e. each random variable is independent of the system of invariant sets of the process. An example shows that a process of identically distributed pairwise independent random variables is in general, however, not weakly ergodic.

SUMMARY. It is proved for non-negative uncorrelated random variables that Cesaro- uniform integrability implies the weak law of large numbers and strong Cesaro-uniform in- tegrability implies the strong law of large numbers. A counterexample shows that the non- negativity assumption is essential in this context.

ZusammenfassungIn diesem Paragraphen sei \(*:\hat S \to \widehat {*S}\) eine starke Nichtstandard-Einbettung.

In diesem Paragraphen wird der zentrale Begriff der *-endlichen Summe eingeführt, der sich als besonders fruchtbar in der Integrationstheorie erweist. Die *-endliche Summenabbildung wird mittels eines geeigneten Transfers der endlichen Summenabbildung gewonnen. Daher werden für *-endliche Summen die gleichen formalen Rechenregeln gelten wie für endliche Summen. Spezialfälle *-endlicher Summen hatten wir schon in § 10 und § 11 verwandt.

In diesem Paragraphen geben wir Anwendungen der Nichtstandard-Theorie, für die wir eine reichhaltigere Nichtstandard-Welt benötigen, als wir sie bisher bei Nichtstandard-Einbettungen vorfinden. Um die hierzu benötigte Bedingung zu verdeutlichen, soll zunächst die charakterisierende Eigenschaft ℝ ≠ *ℝ einer Nichtstandard-Einbettung untersucht werden. Es stellt sich dabei heraus, daß diese so unscheinbar wirkende Eigenschaft zu einer Bedingung äquivalent ist, die auf den ersten Blick viel restriktiver erscheint. Zur Formulierung dieser Bedingung benutzen- wir die folgende Sprechweise: C ist ein Mengensystem mit nicht andlichen Durchsnitten, falls $$C \ne 0/$$ ist, und je endlich viele Mengen aus C einen nicht-leeren Durchschnitten, welches nur aus kompakten Mengen eines Hausdorff-Raumes besteht, dann ist $$\cap C \ne 0/$$ (siehe 21.9 (iii)). Im allgemeinen ist für ein belibiges System C mit nicht-leeren endlichen Durchschnitten zwr {ie149-3}, aber immer ist für eine starke Nichstandard-Einbettung $$\cap C \ne 0/$$ (siehe 15.2)

Dirac führte zur Beschreibung physikalischer Erscheinungen in der Quantentheorie die später nach ihm benannte Diracsche δ-Funktion ein. Von einer δ-Funktion forderte Dirac zweierlei: (I) $$\smallint _{ - \infty }^{ + \infty }\delta (x)dx = 1;$$ (II) $$\delta (x) = 0 f\ddot ur x \ne 0.$$

In diesem Paragraphen sei $$*:\hat S \to \widehat {*S}$$ eine Ŝ-kompakte Nichtstandard-Einbettung.

In diesem und in allen folgenden Paragraphen setzen wir $$*:\hat S \to \widehat {*S}$$ als Ŝ-kompakte Nichtstandard-Einbettung voraus.

Schon bei der speziellen Konstruktion von *ℝ hatten wir jeder Funktion f: ℝ → ℝ eine Funktion *f: *ℝ → *ℝ zugeordnet und einfache Nichtstandard-Kriterien für Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und Differenzierbarkeit bewiesen sowie einige Anwendungen in der reellen Analysis gegeben. In diesem Paragraphen werden wir diese Untersuchungen vertiefen und in den Rahmen der bisher entwickelten allgemeinen Theorie einordnen. Erneut starten wir dabei von einer Nichtstandard-Einbettung. $$*:\hat S \to \widehat {*S}$$

Ultrafilter sind grundlegend für die Konstruktion von Nichtstandard-Modellen; sie werden sowohl bei der speziellen Konstruktion in § 3 als auch bei den allgemeinen Konstruktionen des § 36 verwandt. In diesem Paragraphen werden die Begriffe und Ergebnisse aus der inzwischen recht weit entwickelten Filtertheorie bereitgestellt, die für diese Konstruktionen benötigt werden. Dies sind lediglich die Begriffe Filter und Ultrafilter, sowie zwei Ergebnisse über Existenz und Charakterisierung von Ultrafiltern. Wer über dieses elementare Rüstzeug der Filtertheorie schon verfügt, kann diesen Paragraphen überspringen.

Starke Nichtstandard-Einbettungen erweisen sich in manchen Bereichen der Topologie, insbesondere aber in der Stochastik, als nicht mehr hinreichend wirkungsvoll. Dieses hat zu einer weiteren Verschärfung der Modellbildung, zu den sogenannten Ŝ-kompakten oder auch polysaturierten Nichtstandard-Einbettungen (zur Definition siehe 28.1, zur Existenz siehe 36.14) geführt. Vor dieser Begriffsbildung sollen noch einige nützliche Sprechweisen festgelegt werden.