Исследован изгиб трехслойной пластины при прямом и повторном знакопеременном нагружении круговой погонной нагрузкой. Физические уравнения состояния для материалов тонких внешних несущих слоев, учитывают возникающие малые упругопластические деформации. Материал более толстого жесткого заполнителя нелинейно упругий. Предполагается, что деформирование несимметричной по толщине пластины подчиняется гипотезам Кирхгофа в несущих слоях и гипотезе Тимошенко в заполнителе. Это приводит к линейному распределению радиальных перемещений по толщине слоев. Пластина подвержена воздействию теплового потока, падающего перпендикулярно ее верхнему слою. Торец пластины и наружная поверхность нижнего несущего слоя теплоизолированы. Для расчета температурного поля используется формула, полученная методом усреднения теплофизических характеристик по толщине пакета. Учтено влияние температуры на модули упругости и функции пластичности и физической нелинейности материалов. Постановка краевой задачи проведена вариационными методами. Получена соответствующая система уравнений равновесия и силовые граничные условия для рассматриваемой трехслойной пластины. В заполнителе принята во внимание работа тангенциальных напряжений. Сформулированы кинематические граничные условия и использована ограниченность решения в центре пластины. При построении решения задачи об изгибе соответствующей упругой пластины погонной нагрузкой использовано известное решение в случае равномерно распределенной кольцевой нагрузки. Применен предельный переход при толщине кольца нагрузки, стремящегося к нулю. Решение краевой задачи о нагружении упругопластической пластины из естественного состояния проведено методом упругих решений Ильюшина. Аналитическое итерационное решение выписано в функциях Бесселя. При повторном знакопеременном нагружении использована теория переменного нагружения Москвитина. В несущих слоях учтено циклическое упрочнение материала. Проведен численный анализ полученных аналитических решений, исследована зависимость перемещений от физически нелинейных свойств материалов слоев, температуры, граничных условий.

The effect of a homogeneous temperature field on the frequencies of natural oscillations of a circular sandwich plate is investigated. The hypothesis of a broken line is used as a kinematic one: for identical high-strength thin load-bearing layers, the Kirchhoff hypothesis; for a light incompressible thicker filler, the Timoshenko hypothesis on the straightness and incompressibility of a deformed normal. The differential equations of the transverse vibrations of the plate are obtained by the variational method. The desired functions are plate deflection and displacement in the filler. The analytical solution of the initial boundary value problem is constructed by decomposing into a series according to a system of proper orthonormal functions with hinged support or sealing of the plate contour. Calculation formulas for displacements are given. A numerical parametric analysis is carried out for the dependence of the oscillation frequencies of the plate on the materials of the bearing layers and temperature.

Исследованы резонансные колебания круговой симметричной по толщине трехслойной сэндвич-пластины под действием осесимметричной гармонической кольцевой нагрузки. Для тонких несущих слоев принимаются классические гипотезы Кирхгофа, согласно которым деформированная нормаль к срединной поверхности слоя несжимаема, остается прямолинейной и перпендикулярной к ней. Заполнитель считается легким, более толстым. При его деформировании нормаль также остается несжимаемой и прямолинейной, но перестает быть перпендикулярной срединной поверхности, т.е. подчиняется гипотезе Тимошенко. Температура пластины предполагается однородной и изменяющейся вместе с температурой окружающей среды. Учтено ее влияние на упругие параметры материалов слоев. Использована общая система дифференциальных уравнений поперечных изотермических колебаний несимметричной по толщине круглой трехслойной пластины, которая справедлива и в рассматриваемом случае. Для исследуемой сэндвич-пластины она упрощается и сводится к двум уравнениям относительно прогиба пластины и дополнительного сдвига в заполнителе. В качестве граничных условий рассмотрены защемление и шарнирное опирание контура. Начальные условия движения приняты однородными. Использована ограниченность решения в центре пластины. Решение начально-краевой задачи для сэндвич-пластины получено с помощью разложения искомых прогиба и относительного сдвига в ряд по системе собственных функций, которые для принятых граничных условий имеют одинаковый вид. Выписаны трансцендентные уравнения для нахождения соответствующих собственных чисел, их значения приведены в таблице. Построены графики изменения собственных частот основного тона в зависимости от температуры. Приведены расчетные формулы для прогиба и относительного сдвига. Результаты численного анализа представлены в виде графиков зависимости прогиба пластины от температуры и координаты внутреннего кольца силовой нагрузки.

The effect of a constant intensity heat flux on forced oscillations of a circular three -layer plate with an asymmetric thickness is investigated. The plate is thermally insulated along the contour and the lower plane. An approximate solution of the thermal conductivity problem was used, obtained by averaging the thermophysical parameters of the materials of the layers over the thickness of the package. According to the Neumann hypothesis, free plate oscillations caused by an instantaneous drop in heat flow are summed up with forced oscillations from the power load. The deformation of the plate package corresponds to the polyline hypothesis. In relatively thin outer bearing layers, Kirchhoff's hypotheses are valid. In sufficiently thick incompressible filler, the deformed normal retains straightness and length, but rotates by an additional angle. The formulation of the corresponding initial boundary value problem includes the equations of motion obtained using the d'Alembert principle and the variational Lagrange method. The initial conditions are assumed to be homogeneous, the contour of the plate is pivotally supported. The analytical solution of an inhomogeneous system of partial differential equations is obtained using the method of expansion into a series according to a system of proper orthonormal functions. As a result, analytical expressions are written out for three desired functions - plate deflection, shear and radial displacement in the filler. An example of oscillations under the action of an instantaneously applied uniformly distributed load is considered. A numerical parametric analysis of the natural oscillation frequencies and the resulting solution depending on the intensity of the heat flux for a plate with layers of titanium alloy, fluoroplast-4, and duralumin is given.

The effect of a heat flux of constant intensity on a circular three-layer plate, thermally insulated along the contour and lower surface, is considered. A solution of the problem of thermal conductivity of the plate with thickness-averaged thermophysical parameters of materials is presented. The nonstationary temperature field is nonuniform over the thickness of the plate. It is shown that on instantaneous drop, the heat flux can cause sagging and free vibrations of the three-layer plate. The kinematics of the plate package obeys the broken line hypothesis. After applying a load, the normal in thin load-bearing layers does not change its length and remains perpendicular to the middle surface of the layer. In a relatively thick filler, the deformed normal retains its length and straightness, but is rotated by a small additional angle, i.e., the shift is taken into account. The formulation of the corresponding initial boundary-value problem is given. The equations of motion were obtained using the variational method with account for the transverse forces of inertia. The boundary pivot conditions are accepted on the contour of the plate. Radial movements in the layers are expressed through three sought functions: plate sagging, shear, and radial movement of the middle plane of the filler. It is shown that these sought functions satisfy the inhomogeneous system of three differential equations. To solve the system, the method of series expansion in the constructed fundamental system of eigenorthonormal functions was used. A transcendental equation is written out to obtain the corresponding eigenvalues. A numerical parametric analysis of the solution was carried out depending on the geometric and thermophysical characteristics of the layer materials and the time of exposure to the heat flux.

Рассмотрена задача о динамическом деформировании круговой трехслойной пластины со ступенчатым изменением толщины внешних слоев. Модель деформирования пластины построена на основе гипотезы ломаной линии. Подход к рассмотрению поставленной задачи базируется на методе декомпозиции геометрии пластины, в соответствии с чем представлены уравнения движения для каждого участка постоянной толщины, вывод которых выполнен с помощью вариационного принципа Гамильтона. Получено частное аналитическое решение для вынужденных колебаний пластины, возбуждаемых линейным во времени внешним воздействием. Представленное решение основано на суперпозиции квазистатических и динамических составляющих перемещений, возникающих в пластине при колебаниях. Для апробации решения выполнены численные исследования для различных пакетов материалов.

Исследован изгиб упругопластической трехслойной круговой пластины при знакопеременном нагружении осесимметричной кольцевой нагрузкой. Учтено воздействие температурного поля. Пакет пластины несимметричен по толщине. Предполагается, что его деформирование подчиняется гипотезе ломаной линии. Внешние несущие слои принимаются тонкими, для них справедливы гипотезы Кирхгофа. Материалы несущих слоев упругопластические. В более толстом жестком заполнителе выполняется гипотеза Тимошенко о прямолинейности и несжимаемости деформированной нормали. Изменение радиальных перемещений принимается линейным по толщине слоя. Материал заполнителя нелинейно упругий. Пластина принимается теплоизолированной по торцу и внешней поверхности нижнего несущего слоя. Падающий перпендикулярно верхнему слою тепловой поток создает в пластине температурное поле. Формула для его расчета получена при помощи усреднения теплофизических характеристик материалов слоев по толщине пакета. Учтено влияние температуры на упругие и пластические характеристики материалов слоев пластины. Для вывода дифференциальных уравнений равновесия при первичном нагружении пластины применен вариационный метод Лагранжа. Учтена работа касательных напряжений в заполнителе в тангенциальном направлении. На контуре пластины сформулированы граничные условия. Рассмотрен случай кольцевой равномерно распределенной нагрузки. Для решения соответствующей краевой задачи применен приближенный метод, базирующийся на методе упругих решений Ильюшина. Итерационное аналитическое решение выписано в функциях Бесселя. При повторном знакопеременном нагружении использована теория переменного нагружения Москвитина. Учтено упрочнение материала несущих слоев. Для полученных аналитических решений проведен численный анализ зависимости от физических уравнений состояния, температуры, граничных условий.

The bending of an elastic circular three-layer plate asymmetric in thickness by local loads uniformly distributed in a circle in a neutron current is considered. Polyline hypotheses are used to describe the kinematics of the package. Kirchhoff's hypotheses are valid in thin load-bearing layers. In a relatively thick incompressible filler, Timoshenko's hypothesis about the straightness and incompressibility of the deformed normal is fulfilled. The work of the tangential stresses of the filler is taken into account. Deformations are small. It is assumed that, in a linear approximation, an additional change in the volume of materials in the layers can be considered directly proportional to the integral neutron flux. Attenuation of the intensity of the neutron flux when passing through the layers of the plate is assumed according to the exponential law. The effect of neutron irradiation on the elasticity parameters of materials is not taken into account. The formulation of the corresponding boundary value problem is given. The system of differential equations of equilibrium in forces is obtained by the Lagrange variational method. In the contour of the plate, the boundary conditions of the hinge support are assumed. In this case, the requirement of zero bending moment on the contour of the plate includes an integral neutron flux. The solution to the boundary value problem is reduced to finding three desired functions — deflection, shear, and radial displacement of the median plane of the filler. An inhomogeneous system of ordinary linear differential equations is written out for these functions. The solution to the boundary value problem is obtained in the final form. Numerical parametric analysis of the obtained solutions is carried out. The dependence of the stress-strain state of a three-layer metal polymer plate on the magnitude and type of load, layer thickness, and neutron flux intensity is investigated.

Forced oscillations of a three-layer circular plate with step-variable thickness of the outer layers are analyzed. The deformation of the plate is described with the zig-zag theory. In thin border layers of plate Kirchhoff’s hypotheses are valid. In a relatively thick in thickness medium layer Timoshenko’s hypothesis on the straightness and incompressibility of the deformed normal is fulfilled. The equations of motion are derived from Hamilton’s variational principle. A special case of exposure is considered: periodic sequence of strokes with constant intensity. The problem is reduced to finding three required functions in each section, deflection, shear and radial displacement of the median plane of the filler. The solution is presented as a sum of quasi-static and dynamic components of the unknown displacements. Numerical results of the obtained solution are presented. The influence of the impact stress on the oscillatory character is analyzed.

The deformation of an elastic circular three-layer plate with an asymmetric thickness under neutron irradiation is considered. To describe the kinematics of the package, polyline hypotheses are used. In the thin load-carrying layers, Kirchhoff’s hypotheses are assumed. In a relatively thick aggregate with an incompressible thickness, the Timoshenko hypothesis of straightness and incompressibility of the deformed normal is employed. The operation of filler in the tangential direction is taken into account, and the corresponding boundary-value problem is formulated. A system of differential equilibrium equations is obtained by the Lagrange variational method, and boundary conditions on the plate contour are formulated. The solution of the boundary-value problem is reduced to finding three desired functions: the deflection, shear, and radial displacement of the median plane of the filler. An inhomogeneous system of ordinary linear differential equations is written for these functions. The boundary conditions prescribed correspond to the spherical support of plate contour, and its numerical parametric analysis is carried out.