Starting from the Markowitz’s formula for a portfolio we compute the solutions for three structures of dependencies and use acyclic directed graphs (DAGs) to represent the structures. Same levels of returns and volatilities are adopted for all assets in order to focus just on the role of correlations. We start with two structures of dependencies among three assets. We then compute the optimal solution for a four assets portfolio whose DAG is the superposition of the previous patterns.

Lo scopo del presente lavoro è quello di segnalare le potenzialità offerte dalle Support Vector Machines (SVM) nell'analisi delle serie storiche. Nella prima sezione si introduce la metodologia delle SVM partendo dal problema della generalizzazione. Nella seconda sezione si mettono alla prova le capacità di generalizzazione delle SVM attraverso uno studio di simulazione e si confrontano con quelle delle reti neurali. Nella terza sezione si applicano le SVM a una serie storica ben nota in letteratura in modo da facilitare comparazioni con metodi alternativi utilizzati in altri lavori. 1 Introduzione Il problema della regressione si caratterizza per la stima della funzione di regressione ovvero la funzione che individua il valore medio condizionato di una variabile di risposta rispetto ai valori assunti da una serie di variabili esplicative. L'approccio non parametrico a questo problema consiste nel non postulare la classe d'appartenenza della funzione di regressione, ma di compierne la stima utilizzando metodi più diretti. Le impostazioni e i paradigmi per attuare questa operazione possono essere svariati. Adottando una qualsiasi di queste impostazioni, il problema fondamentale che si presenta risulta comunque essere quello della generalizzazione. Con questo termine si intende la capacità di applicare efficacemente lo strumento su osservazioni diverse da quelle utilizzate per la sua stima. La capacità di generalizzazione coincide quindi con la capacità di stimare correttamente la funzione di regressione sottostante i dati campionari evitando la loro mera riproduzione (overfitting) e conseguendo il loro lisciamento ottimale. Nel tempo, sono state proposte varie procedure per assicurare le capacità di generalizzazione a uno stimatore non parametrico. Tra queste sicuramente la più utilizzata è la validazione incrociata, attraverso la quale i parametri di regolarità dello stimatore sono scelti rendendo minimi dei criteri di perdita applicati a sottoinsiemi del campione temporaneamente non utilizzati per la stima degli altri parametri. Un approccio radicalmente diverso alla questione della generalizzazione sta alla base delle cosiddette Support Vector Machines (SVM). A partire dal contributo di

The Radial Basis Function (RBF) neural networks are nonparametric regression tools similar in formula to the Nadaraya-Watson kernel estimator. Starting from this resemblance, the relationships between the RBF neural nets and the kernel methods are discussed. Some results regarding the moment matrix of the radial basis functions are used to understand the linkage between these estimators and to show a different behaviour of their bandwidth. It is also recalled that the rate of convergence of RBF nets is not dependent on the dimension of the domain of the regression function unlike kernel methods. Afterwards the comparison moves on more applied aspects and a RBF net joint on an ARCH model is proposed to analyse financial time series.