Introduction Observed growth, as given for instance by the length of successive annual shoots along a tree trunk, is mainly the result of two components: an ontogenetic component and an environmental component. The ontogenetic component is assumed to be structured as a succession of roughly stationary phases, asynchronous between individuals, while the time-varying environmental component (mainly of climatic origin) is assumed to take the form of local fluctuations, synchronous between individuals. Guédon et al. (2007) proposed a set of methods for analyzing these components. In their approach, the environmental component was simply characterized globally but it may be interesting to study in detail the plant’s response to changing climatic conditions. Here, we propose a statistical modeling approach that enables to differentiate the role of environmental explanatory variables and the part of inter-individual heterogeneity between the growth phases. First results for a sample of 18-year-old Corsican pines and another sample of 15-yearold sessile oaks were reported in Vera et al. (2004). We propose to extend these analyses to data samples grouping for each species (Corsican pine and sessile oak) several sub-samples corresponding to different age classes, all the trees having grown during a common range of years. In this way, different climatic years are mixed for a given ontogenetic phase.

Individual or stand-level biomass is not easy to measure. The current methods employed, based on cutting down a representative sample of plantations, make it possible to assess the biomasses for various compartments (bark, dead branches, leaves, . . .). However, this felling makes individual longitudinal follow-up impossible. In this context, we propose a method to evaluate individual biomasses by compartments when these biomasses are taken as ordinals. Biomass is measured visually and observations are therefore not destructive. The technique is based on a probit model redefined in terms of latent variables. A generalization of the univariate case to the multivariate case is then natural and takes into account the dependency between compartment biomasses. These models are then extended to the longitudinal case by developing a Dynamic Multivariate Ordinal Probit Model. The performance of the MCMC algorithm used for the estimation is illustrated by means of simulations built from known biomass models. The quality of the estimates and the impact of certain parameters, are then discussed. Key-words: Biomass, multivariate longitudinal data, ordinal variable, latent variable, probit link, MCMC. ∗ E-mail: fmortier@cirad.fr Modèle multivarié dynamique pour des réponses ordinales Résumé : La biomasse d’un individu ou d’un peuplement est difficilement mesurable. Les méthodes de mesures actuelles, basées sur l’abattage d’un échantillon représentatif du peuplement, permettent d’évaluer les biomasses pour différents compartiments (tronc, branches mortes, feuilles). Cependant, cet abattage rend impossible un suivi longitudinal des individus. Dans ce contexte, nous proposons une méthode, permettant d’estimer les biomasses par compartiment d’un individu lorsque celles-ci sont classées de façon discrètes ordinales. Les mesures seront obtenues de visu et par conséquent non déstructives. Fondée sur les Modèles Probit redéfinis en terme de variables latentes gaussiennes, une généralisation du cas univarié au cas multivarié à un temps donné est naturelle. Ces modèles seront étendus au cas longitudinal en développant un Modèle Probit Multivarié Ordinal Dynamique. Les performances des algorithmes MCMC seront illustrées sur des simulations construites à partir de modèles de biomasse. On discutera de la qualité des estimations et de l’impact de certains paramètres. Mots-clés : Biomasse, données longitudinales multivariées, variable ordinale, variable latente, lien probit, MCMC. Multivariate dynamic model for ordinal outcomes 3

Individual or stand level biomass is not easily measurable. The current methods of mea- surements, based on the cutting down of a representative sample of plantations, make it possible to assess the biomasses for various compartments (leaves, stem, :::). How- ever, this cutting down makes a individual longitudinal follow-up impossible: are the

La biomasse d'un individu ou d'un peuplement est difficilement mesurable. Les methodes de mesures actuelles, basees sur l'abattage d'un echantillon representatif du peuple-ment, permettent d'evaluer les biomasses pour differents compartiments (feuille, tronc,...). Cependant, cet abattage rend impossible un suivi longitudinal des individus: les arbres abattus a l'âge t + 1 sont ils bien representatifs des arbres abattus a l'âge t? Dans ce contexte, nous proposons une methode, permettant d'estimer les biomasses par compartiment d'un individu lorsque celles-ci sont classees de facon discretes ordinales. Fondee sur les Modeles Probit redefinis en terme de variables latentes gaussiennes, une generalisation du cas univarie au cas multivarie a un temps donne est naturelle. Par suite, ces modeles sont etendus au cas longitudinal en developpant un Modele Probit Multivarie Ordinal Dynamique. Pour finir, les performances des algorithmes MCMC d'estimation sont illustrees sur des simulations construites a partir de modeles de biomasse. On discutera de la qualite des estimations et de l'impact de certains parametres sur ces dernieres.