The classical Hardy-Littlewood result states that & Vert;|& sdot;|(1-2/p)|f|& Vert;(p)less than or similar to & Vert;f & Vert;(p) for 1 1 considering different integral averages of f in the left-hand side of the estimates. (c) 2024 Elsevier Inc. All rights are reserved, including those for text and data mining, AI training, and similar technologies.

Generalizations of the Hardy-Littlewood theorem to multiple trigonometric series with partially monotone coefficients are discussed. Bibliography: 8 titles.

Рассматривается вопрос о справедливости аналогов теоремы Харди-Литтлвуда для тригонометрических рядов с частично монотонными коэффициентами. Библиография: 8 названий.

Изучаются свойства $\alpha$-монотонных последовательностей. Установлена связь между $\alpha$-монотонностью и предельной скоростью изменения коэффициентов. Обсуждается, какие операции над последовательностями не выводят их из класса $M_\alpha$. Кроме того, для тригонометрических рядов с коэффициентами из классов $M_\alpha$ при $0<\alpha<1$ доказан аналог теоремы Лоренца.

We obtain Fourier inequalities in the weighted $L_p$ spaces for any $1

В статье изучается вопрос о том, каким образом изменится известный критерий равномерной сходимости синус-ряда с монотонными коэффициентами, если вместо монотонности наложить условие $\alpha$-монотонности с $0<\alpha <1$. Кроме того, получено дополнение к известной теореме А. Н. Колмогорова об интегрируемости суммы косинус-ряда с выпуклыми, стремящимися к нулю коэффициентами. Библиография: 12 названий.

В статье изучается вопрос, при каких порядках монотонности справедливы оценки сверху и снизу суммы косинус-ряда вблизи нуля с помощью функции $\sum_{n=0}^{[\pi/x]}(n+1)\Delta(\mathbf a)_n$. Библиография: 8 названий.

This paper is a study of trigonometric series with general monotone coefficients in the class with . Sharp estimates are proved for the Fourier coefficients of integrable and continuous functions. Also obtained are optimal results in terms of coefficients for various types of convergence of Fourier series. For two-sided estimates are obtained for the -moduli of smoothness of sums of series with -coefficients, as well as for the (quasi-)norms of such sums in Lebesgue, Lorentz, Besov, and Sobolev spaces in terms of Fourier coefficients. Bibliography: 99 titles.

В работе исследуются тригонометрические ряды с обобщенно монотонными коэффициентами из класса $\operatorname{GM}(p)$ при $p\geqslant 1$. Получены точные оценки коэффициентов Фурье интегрируемых и непрерывных функций. Доказаны неулучшаемые в своих терминах результаты о различных видах сходимости рядов Фурье. Для $1<p<\infty$ получены двусторонние оценки $L_p$-модулей гладкости сумм рядов с коэффициентами из класса $\operatorname{GM}(p)$, а также (квази-)норм этих сумм в пространствах Лебега, Лоренца, Бесова и Соболева в терминах коэффициентов Фурье. Библиография: 99 названий.

We consider functions represented as trigonometric series with general monotone Fourier coefficients. The main result of the paper is the equivalence of the L-p modulus of smoothness, 1 < p < infinity, of such functions to certain sums of their Fourier coefficients. As applications, for such functions we give a description of the norm in the Besov space and sharp direct and inverse theorems in approximation theory.

Рассматриваются функции, представимые в виде тригонометрических рядов с обобщенно монотонными коэффициентами. Основной результат работы - эквивалентность модуля гладкости в $L_p$, $1<p<\infty$, этих функций и некоторых сумм их коэффициентов Фурье. В качестве приложений для таких функций дается полное описание норм в пространстве Бесова и точные прямые и обратные теоремы теории приближений. Библиография: 34 названия.

In this paper we study transformed trigonometric series with Hausdorff averages of Fourier coefficients. We prove Hardy–Littlewood and Pitt's inequalities for such series. The corresponding results for the Hausdorff averages of the Fourier transforms are also obtained.

We obtain new conditions on periodic integrable functions so that their transformed Fourier series belong to Lp. This improves the classical Hardy and Bellman results. A counterpart for the Fourier transforms is also established. Our main tool is a new extension of the Hausdorff–Young–Paley inequality for Fourier transforms.

We define the class of $\alpha$-monotone functions using fractional integrals. For such functions we prove a Boas-type result on the summability of the Fourier coefficients.

In this paper we state new theorems of Hardy–Littlewood type for functions with general monotone Fourier coefficients. Sharpness of stated results is discusses.

We study the smoothness properties of the Hilbert transform in terms of the smoothness of the function itself. We prove global and local analogues of Privalov’s theorem. The sharpness of these results is shown.

М. И. ДьяченкоОб одном классе методов суммирования кратных рядов Фурье В работе устанавливается, что для достаточно широкого класса методов суммирования кратных рядов Фурье, использующих прямоугольные частичные суммы, сохраняются те же свойства, которые справедливы для классических (C, 1)-средних.Точнее, ряды Фурье непрерывных функций суммируются такими