Si considerano gli integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dagli elementi differenziali dei primi due ordini. Dopo aver richiamato precedenti ricerche, si espongono recenti risultati; alcuni esempi dimostrano la portata dei nuovi teoremi.

Oggetto del lavoro è la riduzione a forma bicaratteristica di un sistema di equazioni a derivate parzialinon lineari in n (n > 2) variabili indipendenti, problema che si presenta molto più complicato in confronto al caso n=2. Procedendo in modo analogo a quanto ha già fatto per i sistemi quasi lineari (vale a dire indipendentemente dalla definizione di I. G. Petrowski) l'A., premessa una naturale estensione della definizione di iperbolicità relativa al caso n=2, stabilisce una condizione sufficiente. Infine mediante alcuni esempi illustra diversi aspetti della effettiva riduzione a forma bicaratteristica.

Per il problema di valori al contorno relativo a sistemi di equazioni a derivate parziali (non lineari) del secondo ordine del tipo considerato daJ. Szarski viene stabilito un teorema di unicità, valevole per soluzioni intese in senso generalizzato.

Oggetto della conferenza sono alcuni risultati relativi all’unicità della soluzione del problema di valori al contorno per una sola equazione o per un tipo di sistema di equazioni a derivate parziali (non lineari) del secondo ordine raggiunti daWestphal,Giuliano,Szarski,Walter, e dall’Autore stesso.

Il problema in questione viene considerato, quando la curva è data sotto forma parametrica e l'integrale dipende dagli elementi differenziali dei primi due o dei primi tre ordini; vengono stabiliti alcuni risultati, per i quali si rinvia alla Memoria stessa

Mediante la semicontinuità l'A. perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali relativi a integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine non superiore al terzo. I risultati raggiunti provano l'efficacia dell'impostazione che l'A. ha dato a tali problemi in una Memoria recentemente pubblicata nei Rend. del Circolo Matematico di Palermo, e al tempo stesso pongono in luce sia differenze tra il problema del terzo ordine e quello del secondo ordine, sia, per questo ultimo problema, diversità tra gli integrali curvilinei dello spazio e quelli del piano, di cui l'A. si era occupato alcuni anni fa.

Considerato il problema diCauchy (inteso in senso generalizzato) relativo alla equazione $$z(x,y_1 ,y_2 ) = \varphi (y_1 ,y_2 ) + \int\limits_0^x {f\left( {t,y_1 ,y_2 ,z(t,y_1 ,y_2 ),\frac{{\partial z}}{{\partial y_1 }},\frac{{\partial z}}{{\partial y_2 }}} \right)dt,}$$ viene stabilito un teorema di esistenza, il quale è valido sotto ipotesi altrettanto ampie quanto quelle, nelle quali gli AA. stessi hanno risolto l’analogo problema nel caso di due variabili indipendenti. Alcune considerazioni complementari, tra cui un esempio, illustrano la portata del risultato.

Gli autori estendono all'equazione(I) p=f(x, y, z, q) l'ordine di idee sviluppato daC. Carathéodory per le equazioni differenziali ordinarie, considerando l'equazione(I) sotto la forma $$z(x,y) = \varphi (y) + \int\limits_0^x {f(x,y,z(x,y),q(x,y))} dx$$ per la quale vengono stabiliti un teorema di esistenza e due teoremi di unicità, quando si considerino soluzioniz(x, y), continue assieme az y ′(x, y), e tali chez(x, y), per ogniy fissato, è una funzione assolutamente continua della solax. La funzionef(x, y, z, q) è supposta quasi-continua inx e continua in(y, z, q), mentre le ipotesi relative alle sue derivate parziali variano a seconda dei teoremi che figurano nella Memoria. Nella Memoria sono contenuti due lemmi, che possono presentare interesse, anche indipendentemente dalla teoria delle equazioni a derivate parziali.

Si danno per gli integrali\(\iint\limits_D {F\left( {x,y,z(x,y),\frac{{\partial z(x,y)}}{{\partial x}},\frac{{\partial z(x,y)}}{{\partial y}}} \right)dxdy}\) due teoremi di esistenza del minimo assoluto relativi al caso in cui la funzioneF(x, y, z, p, q) non sia inferiormente limitata.

Nella presente Memoria, nella quale l'A. prosegue lo studio intrapreso, occupandosi delle equazioni diEulero, relative ai problemi in questione, stabilisce le diverse forme che può assumere tale equazione a seconda delle ipotesi, che si fanno sia sulla funzione, da cui è definita la curva minimante, sia sulla funzionef.