Lineare Optimierung ist ein mathematisches Gebiet, das Mitte der 1940er Jahre aus Problemen der Wirtschaftswissenschaften entstanden ist. Je nachdem, ob man die innermathematischen Aspekte, oder die Frage der Anwendungen in den Mittelpunkt stellt, kann man dieses Gebiet der reinen oder der angewandten Mathematik zuordnen: Zum einen handelt es sich um Polyedertheorie, die die zulässige Menge des Optimierungsproblems und das Verhalten eines linearen Funktionals, des Zielfunktionals, darauf beschreibt. Zum anderen handelt es sich um die effiziente und stabile algorithmische Lösung solcher linearer Optimierungsprobleme mit dem Simplex-Verfahren, zuerst veröffentlicht von G. DANTZIG im Jahr 1947, und seiner neueren Konkurrenz, dem Innere-Punkte-Verfahren und der Ellipsoid-Methode. Der Schwerpunkt liegt hier auf dem ersten Aspekt. Eine ausführliche Behandlung der Algorithmik erfolgt im mathematischen Teilgebiet der Optimierung. Zur Orientierung wird im Folgenden ein typisches lineares Optimierungsproblem diskutiert.

Zusammenfassung Man betrachte folgendes kleines LGS $$\begin{aligned} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1-10^{-16} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 20 \\ 20-10^{-15} \\ \end{array} \right). \end{aligned}$$ Die eindeutige Lösung wird von der Mathematik-Software MATLAB Version 7.11 (MATLAB-Befehl A\b) als $$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} \widetilde x_1 \\ \widetilde x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 20 \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{aligned}$$ angegeben. Tatsächlich ist sie aber $$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ \end{array} \right). \end{aligned}$$ MATLAB erkennt zumindest, dass ein Problem vorliegt: „Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.“ Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass Rechenoperationen im zugrunde gelegten Zahlkörper \(\mathbb{R}\) exakt durchgeführt werden. Tatsächlich geht aber jedes Rechnen, egal ob mit der Hand oder auf einem Computer mit Runden einher, da es nur möglich ist, endlich viele Stellen einer Zahl zu berücksichtigen. Diese Rundungsfehler können im Sinne einer a posteriori Fehleranalyse auch als Fehler in den Eingangsdaten der rechten Seite und der Matrix interpretiert werden, die dann mit einer exakten reellen Arithmetik verarbeitet werden. Hinzu kommt, dass für (fast) jedes „reale“ Problem \(\vec{b}\) oder A nur gestört vorliegen. Die Störungen von \(\vec{b}\) sind als „Datenfehler“, die von A als „Modellfehler“ interpretierbar.

Kapitel 3 beinhaltet die Aufgaben zu Kapitel 3 „Vom R-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen“

Kapitel 7 beinhaltet die Lösungen zu Kapitel 7 „Lineare Algebra und Analysis“

Kapitel 2 beinhaltet die Lösungen zu Kapitel 2 „Matrizen und lineare Abbildungen“

Kapitel 4 beinhaltet die Lösungen zu Kapitel 4 „Koordinatentransformationen und Normalformen von Matrizen“

Kapitel 5 beinhaltet die Lösungen zu Kapitel 5 „Bilinearformen und Quadriken“

Kapitel 1 beinhaltet die Aufgaben zu Kapitel 1 „Der Zahlenraum Rn und der Begriff des reellen Vektorraums“