冯端先生是我国物理学界的耆宿,深受学界后进敬仰.笔者年幼,在冯端先生弟子辈诸人如金国钧教授等面前也当执学生礼,加之笔者不是南京大学学子,故也无缘就教于先生门下.笔者对冯端先生的敬仰,更多得自其著作.实际上,笔者与冯先生仅见过两次,一次在物理所,一次在南京大学冯先生的家中.然而,不多的两次见面,冯端先生儒雅博通的学者风范也给笔者留下了深刻的印象.值此冯端先生百年诞辰之际,笔者满怀敬意撰此短文,以为纪念.

欲将轻骑逐,大雪满弓刀. ——[唐]卢纶 武器因人类生存需要而产生,最初的武器来自自然的启发,用到的多是尖锐、锋利的物件.制陶、采矿和冶金带来了金属兵器的制作.基于对弹性、惯性、力矩、杠杆原理、抛体运动等概念的模糊认识,人类学会了制作弓弩、抛石机等弹射武器,极大地扩展了武器的攻击距离.抛石机是人类的第一种机械,由此产生了力学这第一门物理分支学科.

X射线的发现是人类历史上影响最大的事件之一,同其前驱阴极射线的发现一样,都是无心插柳柳成荫的佳话.伦琴为了将阴极射线引出玻璃管外进行研究,用了较高的放电电压且是在黑暗的实验室内进行研究,无意间发现了X射线.伦琴因X射线的发现于1901年获得了第一届诺贝尔物理学奖.X射线为人类带来数不尽的发现和福祉.

外尔于1918年引入的规范变换实际上是相位变换而非真正的尺度变换,但规范不变性、规范理论等概念都沿袭了下来.我们发现,针对由量子化条件[x,p]=i(h)而来的量子体系之本征值问题存在规范变换,或者说尺度变换,x→x/α,p→αp,该变换保体系的能量谱不变.量子谐振子、氢原子问题及一类多体问题的精确解析解证实了这一点.量子化条件[x,p]=i(h)看来是个对量子力学很强的约束,不止于能量的量子化.这个规范变换提醒我们相空间的体积及其量子化才是物理的关键,这也是量子力学和统计物理在潜意识里一直沿用却未予关注的思路.有趣的是,从量子谐振子体系的相空间表述似乎不能导向这个结论.如同规范理论所断言的电磁学量在给定坐标系下的数值表征与标度无关,我们认为量子体系的物理量,如能量谱等,在给定坐标系下的数值表征亦应与标度无关.此尺度变换与德布罗意关系相恰.

本文探讨一类允许(李群意义上的)连续群的变分问题,由此得出的关于所属微分方程的结论会在第一节中作为定理给出一般性表述,在接下来的几节中予以证明.关于由变分问题引发的微分方程会有比关于任意的、允许群变换的微分方程精确得多的论述,后者构成了当前李分析的内容.本文会用到变分的形式计算同李群方法的结合.对于特殊群与变分问题,这样的方法结合并不是什么新鲜事物,这方面此前有Hamel和Herglotz关于特殊有限群的工作,Lorentz和他的学生(例如Fokker),以及Weyl和Klein关于特殊无限群的工作2).特别地,克莱因的第二篇论文同本文相互影响,关于这一点我提请关注克莱因文章的结论部分.

物理诺奖至今已颁发112轮,共产生209位获奖者.物理诺奖的宗旨是奖励"在物理领域做出最重要发现或者发明的人",如此而已.诺奖由私人基金会颁发,没有公平不公平的问题.对物理诺奖不该想当然地加入我们自家特色的误解.物理诺奖得主中堪称大物理学家者约占三分之一左右.反过来看,爱因斯坦、玻恩等宗师级的人物得诺奖的过程满眼是泪,而庞加莱、索末菲这样的一代宗师甚至折戟诺奖名利场.对于中国物理学的发展,也许努力学会物理、扎实开展物理研究比盯着诺奖更重要,毕竟能将自己的研究结果加入物理学的体系才是一个物理学家的最高成就.

四元数是哈密顿对二元数,即复数,的推广,其成功开启了近世代数的大门.哈密顿将四元数的纯虚部称为vector,汉译矢量.由三维世界矢量的四元数乘积引入了点乘和叉乘的概念.麦克斯韦从泰特那里学会了四元数,针对微分矢量运算发明了散度和旋度的概念,三分量的普通四元数世界矢量被麦克斯韦和亥维赛德用于电磁学的表述,于是有了我们今天熟悉的麦克斯韦方程组的形式,吉布斯和亥维赛德由此各自独立地发展出了矢量分析.矢量分析是对严谨的四元数代数的实用主义裁剪,用处是明显的,危害也是巨大的.乱糟糟的?点乘-叉乘让电-动力学成为大多数物理类学生的噩梦.泰特为捍卫四元数进行了艰苦卓绝的斗争,但结果还是矢量分析大行其道.哈密顿追求建立一般的多重代数,吉布斯试图将三维矢量分析推广,加上格拉斯曼创立的线性展开的学问以及佩尔斯创立的线性结合代数,于是有了线性代数.差不多同时期诞生的矩阵理论、格拉斯曼代数和克利福德代数同它们都有亲密的内在联系,也都是物理表述的数学基础.弄清楚四元数、矢量分析和线性代数背后的代数学知识和相互间的关系,普通物理教科书中的数学表述可能就不那么令人迷惑了,也能理解为什么电-动力学里的矢量叉乘又叉乘怎么在量子力学里——据说波函数也是矢量——咋就不见了.顺便说一句,矢量之所以是矢量在于它所遵循的代数结构,它无需有方向、甚至也可以没有长度.

1 导论 至今从考察单色振动的、既吸收又发射辐射能量之线性振子出发的关于黑体辐射谱能量分布公式的推导,正如曾多次强调的那样,有一个非常敏感的缺陷.

1900～1928年间是物理学史上最激动人心的时代,一群天才,主要是年轻人,在不到三十年的时间里构造了崭新的量子力学体系,从而改变了物理学的面貌,也彻底地改变了人类社会的面貌.本文将系统地解释什么是量子(quantum)、什么是力学(mechanics),在对量子力学创建过程的回顾中讲述构成量子力学的具体内容,然后会介绍几例量子力学带来的新技术.量子力学从来都不是什么革命,它只是经典物理学自然的、逻辑的延续.量子力学一如物理学的其它分支,都是人类思想智慧的结晶.量子力学,还有相对论,这些百多年前的头脑风暴,今天应该成为受教育者的知识标配.

阿克塞尔·图(Axel Thue,1863-1922),挪威数学家,毕业于奥斯陆大学数学系,曾受名家索菲斯·李的指点,以丢番图方程和组合方面的研究而闻名,被誉为思想与成就皆超前于时代的人.笔者以为,其1910年关于六角密堆积是平面上最有效堆积方式的证明乃是人类历史上最天才的数学证明之一.这个证明不仅简洁、天才、惊艳,最重要的是该证明的哲学、技巧以及相关联的思考具有深刻的启发性意义.

晶体中原子的排列具有平移对称性,平移对称性限制了晶体只有n=1,2,3,4,6次转动对称.发现有8-次,10-次,12-次转动对称的准晶.准晶结构是高维晶体结构的投影.晶体和准晶的定义统一于点状衍射花样.

一般的数学教育内容都会包含简单的欧几里得几何学.那里面的几何形状,大体上都是一些多边形,且是区分形状和大小的.随着人们对几何认识的深入,还发展出了更高深的学问,拓扑学.拓扑学,topology,关切几何体的拓扑性质,与大小、形状无关而只和topos (可理解为某种相对位置关系)有关.几何学的意义怎么强调都不为过,几何是物理学的语言,甚至有物理学几何化的说法.

晶体具有规则的外形,来自内部原子的规则排列.晶体具有最小的重复单元,是由最小重复单元在三维空间堆积起来的,即晶体具有平移对称性.对称性可以用群这个数学概念来表征.平移对称性限制了晶体重复单元只有n=1,2,3,4,6次转轴,因此晶体只有32种点群(单胞的对称性).32种点群同三维空间中平移操作的组合,决定了晶体只有230种空间群.不管有多少种具体的晶体,按照对称性分类只有230种.二维情形下,n=1,2,3,4,6次转轴加上镜面反映只能得到10种点群;10种点群与二维空间中的平移操作组合,只能得到17种二维空间群.远在人类有群论知识之前,许多文明都认识到了二维晶体只有17种对称性,反映在二维装饰图案比如窗棂的设计上.

中学物理教学中通常认为“摩擦力与接触面积无关”,本文指出了这一错误认识的来源.

20世纪末科学的状态与世纪初相当不同.不只是我们现在知道的更多了——在这个世纪里我们还理解了科学知识的模式.在1900年的时候,许多科学家认为物理、化学和生物学是各自运作在一套独立的规律之下的.科学的版图据信由一些分立的共同体组成,它们和平相处且又各自为政.少数一些科学家抱持着牛顿的所有科学大融合的梦想,但对达成这样的大融合所依据的条件缺乏明确的想法.今天我们知道化学现象之所以如此是因为电子、电磁学和那一百种左右的原子核的物理性质.当然,生物学以一种不同于物理和化学的方式牵扯到历史偶发事件,但是驱动生物进化的遗传机制如今在分子的术语基础上得到理解,而生机论,即关于独有的生物学规律的信条,无疑地已消亡了.这实在是一个还原论获胜的世纪.

在近代物理文献中,光子常常作为无质量粒子被提及.然而,光子同有质量粒子行为上有本质上的不同,从有质量粒子的物理学简单地令m=0不可能得到任何光子物理.光(子)的能量—动量色散关系,速度之参照框架的(非)依赖(性),自旋与自旋投影等基本物理性质都完全不同于有质量粒子.光子与有质量粒子的玻色—爱因斯坦统计上的差别也不是粒子质量有无的问题.光子概念来自基于实验结果提出的光场之能量量子,光场量子化同有质量粒子能量的量子化采用了完全不同的方案.光场量子化是对不同光场模式直接引入产生和湮灭算符,不同模式的光场之间没有作用,谈论光子的位置没有意义,则光子的计数性——其与定域性有关——也就成了问题.严格考察关于光(子)性质的描述及其背后的物理图像,可作为进一步深入理解光(子)之本性的开始.

记得有一首很抒情的歌唱道:"林中的小路有多长?只有我们漫步度量."林中的小路有多长?一般人不会认为这是一个成问题的问题.翻开地理书,就能看到"我国有长达多少多少千米海岸线"的说法.海岸线真有确切的长度吗?1967年,曼德尔布罗特在《科学》杂志上发表了题为《大不列颠的海岸线有多长》(How Long Is the Coast of Britain? Statistical Selfsimilarity and Fractional Dimension)的论文,明确指出海岸线的长度是一个依赖于测量所用标尺的量.相关问题的研究引入了一个崭新的数学分支—分形几何.

Conceive,concept,conceptive,conception,conceptual,conceptu?alize,conceptualization,conceptualism,conceptualistic等等,这一堆乱麻,岂一个"概念"了得?

记得是在读初三的时候,笔者接触到了解析几何.引入直角坐标系,则几何对象可以用代数的形式表达出来,比如x2+y2 =a2代表圆, x2/a2+y2/b2 =1代表椭圆.要找到一条直线和一条抛物线的两个交点,你要做的是联立求解一个二元一次方程和一个二元二次方程.这么美妙的主意是谁想到的?愚笨的我,连这个问题也是在读完博士的时候才想起来问的.这个直角坐标系又被称为笛卡尔坐标系,可在笔者接触到的西文文献中,它被写成"Cartesian coordinate system"."Cartesian"的发音和"笛卡尔"相差很远呀.

8 关于多重性的表示 数学上的n-tuple是n个元素的序列 (sequence).这个-tuple的表示,源自拉丁语的plus,或者希腊语的-πλo??,意思是多(重)的.二元数 (binarion),可以表示为2-tuple,四元数(quaternion)可以表示为4-tuple ,八元数(octonion)可以表示为8-tuple,而十六元数(sedenion)可以表示为16-tuple.有代数结构的多元数就这么些选择.如果关注每一个数量表示的重数,则可罗列如下:single (1),also singleton,sole,only;double (2), also pair, twice;triple (3), also triplet, treble, thrice, threesome, troika, trio;quadruple (4);quintuple or pentuple (5);sex-tuple or hextuple (6);septuple (7);octuple (8);nonuple (9);decuple (10);hendecuple or undecuple (11);duodecuple (12)… centuple (100) ,等等.