组合计数问题是数学竞赛中的一类基本题目.通过一些典型例题对组合计数的常用方法做较详细的介绍和总结,给出几个新颖的问题和解答,以提高竞赛学生的组合计数能力.

(本讲适合高中) 复数是中学数学学习中的一个重点和难点知识.由于复数知识的灵巧性和应用的广泛性,此类题目在数学竞赛中一直层出不穷,成为热点问题.如近年来的高中联赛、数学冬令营和国家集训队中,都有复数问题的身影,且常常作为压轴题.因此,参加数学竞赛的选手不仅要熟练掌握复数的基本知识和解题技巧,还要学会将复数作为一个强有力的工具应用于三角、多项式和平面几何等方面的问题

(本讲适合高中) 本文继续介绍复数单位根的性质,以及复数在多项式、三角、几何及综合问题中的应用. 4 复数单位根性质 方程xn=1的n个根1,ε,…,εn-1(ε=ei2π/n)称为n次单位根,其中,ε称为n次单位原根. n次单位根有如下性质: (1)εn=1,εkn+r=εr(k、r∈Z),(ε)=ε-1; (2)(x-ε)(x-ε2)…(x-εn-1)=1+x+…+xn-1; (3)对于任意的整数m,均有1 + m + ε2m + … +ε(n-1)m ={n, n|m;0, n(|)m.

在2015年全国数学竞赛命题研讨会上,笔者提供了如下一道题: 题1求所有的正整数n,使得存在两个不相交的n元正整数集An={a1,a2,…,an}和Bn={b1,b2,…,bn},同时满足: (1)n∑i=1ai=n∑i=1bi;(2)n∑i=1a3i=n∑i=1b3i. 这道题在此次命题研讨会的模拟IMO选题中有幸被选为第一天的压轴题,应与会的各位专家及同仁的要求,下面对该题的命题过程作个初步的介绍.

(本讲适合高中) 作为数学竞赛的热门试题,不等式频繁地出现在各类数学竞赛中,令人眼花缭乱,目不暇接,但细究起来不外乎以下几种类型: