数学分析中对函数凹凸性有非常细致的研究,发现其中很多性质在初等数学中有较好的应用.介绍关于函数凹凸性的几个著名不等式(Karamata不等式、Muirhead定理、加权Jensen不等式),给出了一些相对应的重要性质及与之对应的应用.
第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.设复数z满足|z|＜1且|(z)+1/z|=5/2.则| z |=______. 2.已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F,直线y=√3x与Γ交于A、B两点(点A在第一象限),且OA=OF(O为坐标原点).则椭圆的离心率是______.
在解决数论的完全剩余系问题中,逆元是一个有利的处理工具,恰当地使用逆元可使解题过程简洁自然.在介绍逆元的定义及其常见的几个结论的基础上,通过几道例题展示逆元在解题中的使用方法,最后给出相关练习题供读者思考,体会逆元在解题中的应用.
从一道集训队试题出发探讨对于任意一个无理数x,其前若干个正整数倍的小数部分的取值情况.由题目出发,引出一系列与小数部分有关的存在性问题,并给出有关此类证明存在性问题的解决和处理方法.
揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB1C1的一种对称关系.既有文献已经证明△ AB1C1外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB1C1欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出△AB1C1的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新△AB1C1、△ BC1A1、△CA1B1与△ABC四者的一些关联性质.
我国数学资优教育领域的研究起步较晚,针对资优生思维特征的课程与教学研究还不够成熟.结合数学资优教育理论与中学数学教学实践,通过教学案例,研究面向高中数学资优生教学的课堂要素.根据数学资优生思维的缜密性、跳跃性、抽象性、系统性和元认知特征开展关键环节的设计,探索能够让学生领悟并理解数学、提升数学学习的痴迷度与专注度和发展学生高阶思维的数学资优生教学策略.
第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.比(√21+√22/√20)6小的最大整数是( ). (A)78 (B)79 (C)80 (D)81 2.如图1,EF是面积为12的梯形ABCD内一条线段且平行于两底AD、BC.已知 AD+BC=3EF,则四边形AECF的面积是( ). (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 3.已知抛物线 y=mx2+(5m-1)x+4m+2经过两定点 A(a,b)、B(c,d).则 a+b+c+d=( ).
分圆多项式与切比雪夫多项式是竞赛学习中的重要内容.对分圆多项式与切比雪夫多项式进行类比探究,类比作出"本分角"的定义,并对其余弦函数值的极小多项式的形式加以研究,给出了一个确定余弦函数值的最小多项式的方法,得到切比雪夫多项式的若干与分圆多项式类似的许多精巧而实用的结论,加深对切比雪夫多项式的认识.
通过探究设计与学生生活现实相关、具有一定教育意义的应用创新情境,以达到提高学生学习数学知识的兴趣、培养学生的创新意识、发挥数学的教育功能、服务"双减"政策的实施、促进基础教育提质增效的目的.
数学应用能力是学生未来生活必备的基本素质之一,数学应用在学科融合教学中有意想不到的效果.学科融合大致分为渗透式、并列式和整合式三种融合模式.通过数学学科与其他学科融合教学,引导学生运用数学知识、技能、思想和方法分析实际问题,并研究整理和解决问题,提升学生数学应用能力.
解析几何知识一直是高中数学竞赛所考查的重要内容.深入探索2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛的一道解析几何试题,发现一系列与斜率相关的定量结论,并均给出了严谨的数学证明,深化解析几何知识的理解,拓展数学视野.
第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.已知f(x)=x2-2x,设集合A={x|f(f(x))=0}.则集合A中所有元素之和为___. 2.已知向量 a、b、c 满足|a|∶|b|∶|c|=1∶k∶3(k ∈Z+),且 b-a=2(c-b).若α 是 a、c 的夹角,则cosα=________. 3.已知一个正四面体可容纳10个半径为1的小球.则此正四面体棱长的最小值是__.
对一道2022年日本初中数学奥林匹克决赛试题分别以三元一次方程组的解、排序不等式、空间向量为视角给出三种不同的解法,并将问题从三维推广到四维.通过分类讨论,得到四维的反序和到正序和的24个代数式中最多有4个代数式的值相等.
从新一轮课程改革中对跨学科综合实践活动要求出发,阐述高中数学综合实践活动对数学拔尖创新人才早期培养的促进作用,结合十余年的课程改革实践经验,梳理高中数学综合实践课程的体系构建和实施路径,并提出"通过构建中小学同一主题,一体化设计的数学综合实践活动课程体系和课程案例",以达到中小学贯通式培养,实现中小学数学拔尖创新人才一体化培养的目标.
学习和研究数学方法论有利于提高教师的专业素养,运用数学方法论指导中学数学教学是推进数学素质教育的一个有效途径.在教学过程中,教师要从数学方法论的高度揭示数学知识的本质,帮助学生领会内在的数学思想方法,认识数学的本质特征和应用价值,这有利于学生数学核心素养的发展.
全国中学生数学奥林匹克(决赛)是国内中学生顶尖的数学竞赛之一.参赛学生经层层选拔入选决赛考试.通过对参赛考生的试卷与答卷情况进行分析,整理出考生在答题过程中易忽视的细节和易错点,帮助竞赛教练员更宏观地了解考试内容,为日后更好地开展教学和培养资优生提供一些辅导建议,给数学竞赛爱好者提供一些好的、妙的解题思路、技巧和方法.
以数学概念教学中多元问题情境创设为研究任务,从教科书整合应用的视角,深入了解数学概念学习中问题情境的创设策略.以二元一次方程概念学习为例,通过对现有初中数学10个版本教材进行整合,对"统计分析,精挑优选""数形结合,例练整合""立足学情,类型覆盖"三种策略创设科学、全面、合适的多元(表征)问题情境,帮助学生学好数学概念,为做好数学概念教学、更好地培养学生数学建模与数学抽象素养提供参考.
章起始课有效构建"数学导游图",便于学生对本章知识的学习进行整体感知.以华东师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学》(以下统称"华师大版教材")九年级上册"图形的相似"为例,从最初的简单"数学导游图"、充实"数学导游图",到最终的完善"数学导游图",体现了课程内容的结构化,以及知识之间的内在联系和逻辑.基于"数学导游图",学生可以对本章知识进行有效整合,对本章关键课进行重点设计,促进学生核心素养的发展.
