揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB1C1的一种对称关系.既有文献已经证明△ AB1C1外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB1C1欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出△AB1C1的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新△AB1C1、△ BC1A1、△CA1B1与△ABC四者的一些关联性质.

笔者将对本文中一些与三角形九点圆圆心关于三边的对称点有关的几何问题给出纯几何探讨.为了方便叙述,先对某些字母的几何意义做如下约定: 如图1,O、H、N分别为△ABC的外心、垂心、九点圆圆心,OA、OB、OC分别为△BOC、△COA、△AOB的外心,O'A、O'B、O'C分别为点O关于边BC、CA、AB的对称点,Na、Nb、Nc分别为点N关于边BC、CA、AB的对称点,Oa、Ob、Oc分别为△ANbNc、△ BNcNa、Δ CNaNb的外心.

在文[1]结尾处,笔者曾给出一个关于欧拉线的逆斯坦纳点的命题,但没有给出具体证明.本文笔者给出该命题的几何证明,并进一步探讨欧拉线的逆斯坦纳点的性质. 先对某些字母的几何意义进行约定. 如图1,在△ABC中,O、H、N、K分别为外心、垂心、九点圆圆心、Kosnita点,E为欧拉线的逆斯坦纳点,OA、OB、 OC分别为△BOC、△COA、△AOB的外心,O′A、O′B、O′C分别为点O关于边BC、CA、AB的对称点,HA、HB、HC分别为点H关于边BC、CA、AB的对称点,O1、O2、O3分别为△AOH、△BOH、△COH的外心.

1985年,Schiffler点最早出现在文[1]的征解问题中. 设I为△ABC的内心.则△IBC、△ICA、△IAB、△ABC的四条欧拉线共点,该点称为Schiffler点.[2] 2003年,俄国数学家Lev Emelyanov和Tatiana Emelyanova用三线坐标给出了关于Schiffler点的两个性质.本文中,笔者就其中一个性质给出纯几何证明.

本文介绍笔者独立发现的一个命题,并给出纯几何证明.关于伪内切圆相关内容,读者可参考文献[1][2]. 命题如图1,在△ABC中,AB、AC分别为A—伪内切圆与AC、AB的切点,A1为ABB与ACC的交点,AA1与△ABC外接圆Г的第二个交点为A2.类似地,设BA、BC分别为B—伪内切圆与BC、AB的切点,B1为BAA与BCC的交点,BB1与圆Г的第二个交点为B2.IC为△ABC的顶点C所对的旁切圆的圆心.则∠ICA2B=∠ICB2A.

笔者从许多特殊情况出发,总结出一条被忽略的应用广泛的结论. 命题1 设AO2是以O1为圆心的圆Γ1的一条直径,以O2为圆心、不超过AO2的长度为半径的圆Γ2与圆Γ1的两个交点所在直线为l.取圆Γ2上一点B与直线l上一点C(B、C不为圆Γ2与Γ1的交点),作AE∥BC,与圆Γ1交于点E,直线AB与圆Γ1交于另一点D,则△ABE∽△BCD.

题1 设H为锐角△ABC的垂心,O'为△BHC的外心,N为线段AO'的中点,D为点N关于边BC的对称点.证明:A、B、D、C四点共圆的充分必要条件为b2+ c2-a2=3R2,其中,a =BC,b=CA,c=AB,R为△ABC的外接圆半径.[1]