In this paper, we present a numerical scheme for solving 2-phase or free-surface flows. Here, the interface/free surface is modeled using the level-set formulation, and the underlying mesh is adapted at each iteration of the flow solver. This adaptation allows us to obtain a precise approximation for the interface/free-surface location. In addition, it enables us to solve the time-discretized fluid equation only in the fluid domain in the case of free-surface problems. Fluids here are considered incompressible. Therefore, their motion is described by the incompressible Navier-Stokes equation, which is temporally discretized using the method of characteristics and is solved at each time iteration by a first-order Lagrange-Galerkin method. The level-set function representing the interface/free surface satisfies an advection equation that is also solved using the method of characteristics. The algorithm is completed by some intermediate steps like the construction of a convenient initial level-set function (redistancing) as well as the construction of a convenient flow for the level-set advection equation. Numerical results are presented for both bifluid and free-surface problems.

The notion of symmetry classically defined for hyperbolic systems of conservation laws is extended to the case of evolution equations of conservative form for which the flux function can bean operator. We explain how such a symmetrization can work from a general point of view using an extension of the classical Godunov structure. We then apply it to the Green–Naghdi type equations which are a dispersive extension of the hyperbolic shallow-water equations. In fact, in the case of these equations, the general Godunov structure of the system is obtained from its Hamiltonian structure.

We consider the Cauchy problem for the Green–Naghdi equations with viscosity, for small initial data. It is well-known that adding a second order dissipative term to a hyperbolic system leads to the existence of global smooth solutions, once the hyperbolic system is symmetrizable and the so-called Kawashima–Shizuta condition is satisfied. In a previous work, we have proved that the Green–Naghdi equations can be written in a symmetric form, using the associated Hamiltonian. This system being dispersive, in the sense that it involves third order derivatives, the symmetric form is based on symmetric differential operators. In this paper, we use this structure for an appropriate change of variable to prove that adding viscosity effects through a second order term leads to global existence of smooth solutions, for small data. We also deduce that constant solutions are asymptotically stable.

Cette these est consacree a l’etude theorique ainsi qu’au traitement numerique de fluides incompressibles a surface libre. La premiere partie concerne un systeme d’equations appele le systeme de Green–Naghdi. Comme le systeme de Saint-Venant, il s’agit d’une approximation d’eaux peu-profondes du probleme de Zakharov. La difference est que le systeme de Green–Naghdi est d’un degre plus eleve en ordre d’approximation. C’est pourquoi il contient tous les termes du systeme de Saint-Venant plus de termes d’ordre trois non-lineairement dispersives. Autrement dit, le systeme de Green–Naghdi peut etre vu comme une perturbation dispersive du systeme de Saint-Venant. Ce dernier systeme etant hyperbolique, il entre dans le cadre classique developpe pour des systemes hyperboliques. En particulier, il est entropique (au sense de Lax) et symetrique. On peut donc lui appliquer les resultats d’existence et d’unicite bien connus pour des systemes hyperboliques. Dans la premiere partie de ce travail, on generalise la notion de symetrie a une classe plus generale de systemes contenant le systeme de Green–Naghdi. Ceci nous permet de symetriser les equations de Green–Naghdi et d’utiliser la symetrie obtenue pour deduire un resultat d’existence globale apres avoir ajoute un terme dissipative d’ordre 2 au systeme. Ceci est fait en adaptant l’approche utilisee dans la litterature pour des systemes hyperboliques. La deuxieme partie de ce travail concerne le traitement numerique des equations de Navier–Stokes a surface libre avec un terme de tension de surface. Ici, la surface libre est modelisee en utilisant la formulation des lignes de niveaux. C’est pourquoi la condition cinematique (condition de l’evolution de surface libre) s’ecrit sous la forme d’une equation d’advection satisfaite par la fonction de ligne de niveaux. Cette equation est resolue sur une domaine de calcul contenant strictement le domaine de fluide, sur de petits sous-intervalles du temps. Chaque iteration de l’algorithme global correspond donc a l’advection du domaine du fluide sur le sous-intervalle du temps associe et ensuite de resoudre le systeme de Navier–Stokes discretise en temps sur le domaine du fluide. Cette discretisation en temps est faite par la methode des caracteristiques. L’outil cle qui nous permet de resoudre ce systeme uniquement sur le domaine du fluide est l’adaptation de maillage anisotrope. Plus precisement, a chaque iteration le maillage est adapte au domaine du fluide tel que l’erreur d’approximation et l’erreur geometrique soient raisonnablement petites au voisinage du domaine du fluide. La resolution du probleme discretise en temps sur le domaine du fluide est faite par l’algorithme d’Uzawa utilise dans la cadre de la methode des elements finis. Par ailleurs, la condition de glissement de Navier est traite ici en ajoutant un terme de penalisation a la formulation variationnelle associee.