We study the balanced resistance forms on the Julia sets of Misiurewicz-Sierpinski maps, which are self-similar resistance forms with equal weights. In particular, we use a theorem of Sabot to prove the existence and uniqueness of balanced forms on these Julia sets. We also provide an explorative study on the resistance forms on the Julia sets of rational maps with periodic critical points.

The study of Julia sets gives a new and natural way to look at fractals. When mathematicians investigated the special class of Misiurewicz's rational maps, they found out that there is a Julia set which is homeomorphic to a well known fractal, the Sierpinski gasket. In this paper, we apply the method of Kigami to give rise to a new construction of Laplacians on the Sierpinski gasket like Julia sets with a dynamically invariant property.

Zusammenfassung In diesem Jahr gab es beim Bundeswettbewerb „Jugend forscht“ mehrere ausgezeichnete Arbeiten im Bereich der Mathematik. Die Fachgebietsjury mit Jürgen Richter-Gebert als Sprecher war fasziniert von der Qualität der diesjährigen Beiträge. Michael Röckner (Präsident der DMV): „Wegen der außergewöhnlich exzellenten Arbeiten im Bereich der Mathematik entschloss sich die DMV kurzfristig, anstelle des einen üblichen Sonderpreises für eine außergewöhnliche mathematische Arbeit, gleich drei zu vergeben. Diese drei ,Jugend-forscht‘-Projekte, die sich hier vorstellen, haben im Fachgebiet Mathematik/Informatik den 2. und 3. Preis erzielt sowie den „Preis der Preise“, den fächerübergreifenden Bundessieger-Preis des Bundespräsidenten. Wir hoffen, dass es auch in Zukunft wieder mehr starke Mathematik-Arbeiten geben wird. Ich möchte darauf hinweisen, dass diese drei Arbeiten von zwei engagierten Professoren betreut wurden, die auch in früheren Jahren mehrfach auf dem Bundeswettbewerb prämierte Arbeiten betreut hatten: Frank Herrlich aus Karlsruhe und Dierk Schleicher aus Bremen. Deutschlandweit wird es vermutlich noch weit mehr Potential für erfolgreiche Nachwuchsarbeiten geben. Dieser Artikel soll Kolleginnen und Kollegen an Universitäten und Schulen anregen, sich hier unterstützend zu engagieren.“

Hilbert's tenth problem, posed in 1900 by David Hilbert, asks for a general algorithm to determine the solvability of any given Diophantine equation. In 1970, Yuri Matiyasevich proved the DPRM theorem which implies such an algorithm cannot exist. This paper will outline our attempt to formally state the DPRM theorem and verify Matiyasevich's proof using the proof assistant Isabelle/HOL.