A crucial issue in a dynamic framework is how risk valuations at different times are interrelated. In this regard, the notion of time consistency was widely introduced and discussed in the literature. A time-consistent dynamic valuation states that a future payoff preferred to another payoff at some future time point should already be preferred to this payoff today. This paper aims to construct a time-consistent, dynamic version of the Three-step method introduced in Deelstra et al. ((2020). ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, 50(3), 709-742.) for hybrid life Pure Endowment products, employing a backward iteration scheme. The backward scheme is illustrated in a dual-iteration approach using a Pure Endowment product without profit sharing. Furthermore, we explore the continuous-time limit of the backward scheme, incorporating profit-sharing into the Pure Endowment to investigate a hybrid life payoff. Our analysis demonstrates that the presence of the diversifiable component undermines the time-consistency of the dynamic three-step method. Consequently, the time-consistent price of the actuarial part shows a notable increase. To address this, and in accordance with Devolder and Leb & egrave;gue ((2016). Risks, 4(4), 49.), we present a reduced time-consistent variant by decreasing the safety loads in each iterative step of the backward scheme.

Hybrid life insurance contracts have recently gained prominence in various markets. In this context, our interest lies in products that combine participating and unit-linked contracts, delving into the dynamic interplay between financial guarantees and investment strategy. This paper aims to ascertain if the equilibrium between participating and unit-linked life insurance policies aligns with the lifestyle investment strategy, thereby maximizing the expected utility of the policyholder at the contract’s maturity while adhering to the fair pricing relation of the contract. In particular, it looks at the pricing of the fair guaranteed rates and the optimal investment strategy using a specified deterministic investment style. Our analysis reveals that a stable investment strategy often dominates across different levels of risk aversion, within the assumption of the classical utility function. However, to capture policyholders’ changing risk preferences as they age, we extend the study to incorporate periodic premium payments and time-varying risk aversion. The results emphasize the effectiveness of this approach in tailoring the lifestyle investment strategy.

In this paper, we question the traditional independence assumption between mortality risk and financial risk and model the correlation between these two risks, estimating its impact on the price of different life insurance products. The interest rate and the mortality intensity are modelled as two correlated Hull and White models in an affine set-up. We introduce two building blocks, namely the zero-coupon survival bond and the mortality density, calculate them in closed form and perform an investigation about their dependence on the correlation between mortality and financial risk, both with theoretical results and numerical analysis. We study the impact of correlation also for more structured insurance products, such as pure endowment, annuity, term insurance, whole life insurance and mixed endowment. We show that in some cases, the inclusion of correlation can lead to a severe underestimation or overestimation of the best estimate. Finally, we illustrate that the results obtained using a traditional affine diffusive set-up can be generalised to affine jump diffusion by computing the price of the zero-coupon survival bond in the presence of jumps.

Pension funds and insurers face difficulties in hedging their longevity risk, which is the uncertainty of how long their clients will live. A possible solution could be using longevity-linked securities to transfer some of this risk to other parties. However, these securities may not match the actual mortality rates of the insurer's clients, resulting in a potential loss due to basis risk. In this paper, we measure this basis risk through the pricing of a longevity derivative under Solvency II. We also compare this method with other common pricing methods in finance. We explore and evaluate different hedging strategies for insurers, using a multi-population model derived from a two-dimensional Hull and White model that captures the dynamics of mortality over time.

In a complete arbitrage-free financial market, financial products are valued with the risk-neutral measure and these products are completely hedgeable. In life insurance, the approach is different as the valuation is based on an insurance premium principle which includes a safety loading. The insurer reduces the risk by pooling a vast number of independent risks. In our framework, we suggest valuations of a class of products that are dependent on both mortality and financial risk, namely hybrid life products. The main contribution of this paper is to present a generalized standard deviation premium principle in a stochastic interest rate framework, and to integrate it in different valuation operators suggested in the literature. We illustrate our methods with a classical application, namely a Pure Endowment with profit. Several numerical results are presented, and an extensive sensitivity analysis is included.

We propose a flexible lattice model to evaluate the fair value of insurance contracts embedding both financial and actuarial risk factors. Flexibility relies on the ability of the model to manage different specifications of the correlated processes governing interest rate, mortality, and fund dynamics, thus allowing the insurer to make the most appropriate choices. The model is also able to handle additional guarantees like a surrender opportunity for which explicit formulae are not available being it similar to an American derivative. The model discretizes mortality and interest rate dynamics through two different binomial lattices and then combines them into a bivariate tree characterized by the presence of four branches for each node. The probability of each branch is defined to replicate the correlation affecting the two processes. The bivariate model is useful to compute the value of survival zero coupon bond. When adding another source of risk, such as the fund dynamics for evaluating fund-linked insurance products, we model it through a bivariate tree that captures the influence of the interest rate on its drift term. Then, the mortality risk is embedded by defining a trivariate tree presenting eight branches emanating from each node with probabilities defined in order to capture the correlations of the processes. Extensive numerical experiments assess the model accuracy by considering some stylized policies, but the model application is not limited to them being it able to manage different contract specifications.

Population ageing undermines traditional social security pension systems that combine pay-as-you-go and defined benefits (DB). Indeed, demographic risk, if guaranteed benefits remain unaltered, will be borne entirely by workers through increases in the contribution rate. To avoid a substantial increase of the contributions and in order to maintain simultaneously the financial sustainability and the social adequacy of the public pension system, risk sharing and automatic balancing mechanisms need to be put in place. We present a two-step convex family of risk-sharing mechanisms. The first shares the risk between contributors and retirees through adjustments in the contribution rate, used to calculate the global covered wage bill, and the benefit ratio that represents the relationship between average pensions and wages. The second step studies how the retirees' risk should be shared between the different retirees' generations through adjustments in the replacement rate and a sustainability factor that affects pension indexation during retirement. We perform a detailed study of the effect of social planner's targets and solidarity weight between various generations in a deterministic and stochastic environment.

In the context of pension plans, the employer and the worker have distinct interests and face different risks. The worker seeks higher retirement benefits, while the employer aims to minimize the cost of fulfilling his obligations. To address these diverse needs, the defined contribution plan managed with participating life insurance (DC-PL) and the cash balance plan managed with unit-linked insurance (CB-UL) serve as suitable choices. The multi-criteria analysis is conducted using the cumulative prospect theory model to measure the utility of the parties involved toward a mixed product combining these two pension plans. By assigning weights to risk measures and maximizing utilities, the paper employs both additive utility and Nash equilibrium approaches. The results reveal that the CB-UL plan aligns with employers' interests, offering potential financial gains, while the DC-PL plan attracts workers due to its profit-sharing aspect. Significantly, when equal importance is given to both parties, the CB-UL plan emerges as the prevailing choice. This study contributes to the understanding of pension plan design and decision-making dynamics between employers and workers, providing valuable insights for achieving a balance between retirement benefits and cost management.

The need to find a good balance between attractive returns and long-term guarantees has motivated the development of hybrid life insurance products. In these contracts, the premium payments are distributed between a participating and a unit-linked fund, where an additional guarantee fee is applied to the unit-linked return in order to increase the investment guarantee of the participating fund. Moreover, the traditional pricing approach in life insurance is based on models for the financial elements and the mortality elements without any correlations between them. However, recent trends, such as the recent COVID-19 pandemic or the effect of ageing on stock market preferences, motivate us to account for the correlation between changes in demographic trends and the value of financial assets. The purpose of this paper is to price the mixed insurance contract based on longevity and to propose a multi-dimensional approach to explicitly studying the dependence between financial and mortality risks in a joint stochastic continuous time model of interest rates, stock returns, and mortality.

En 1980 le ministre des pensions, Mr Herman De Croo appelait à une réforme des pensions pour faire face aux vieillissements démographiques à venir. En 2013, son fils Mr Alexander De Croo, ministre des pensions à son tour, mettait en place la Commission de réforme des pensions 2020-2040 avec à sa présidence l’actuel vice-premier ministre Mr Frank Vandenbroucke. En Juin 2014, la Commission remettait un rapport détaillé adopté à l’unanimité de ses membres (dont les auteurs de ce numéro faisaient partie). Ce rapport proposait une réforme structurelle de nos pensions légales. Depuis une décennie s’est écoulée et rien ne s’est produit à l’exception du report de l’âge légal à 66 ans en 2025 et 67 ans en 2030. Cette politique de l’âge est en elle-même assez paradoxale car le rapport proposait de «privilégier le kilométrage sur l’âge» en proposant un âge de pension variable selon l’âge de début de carrière. Dans ce numéro de Regards Economiques, nous souhaitons contribuer à débloquer une réforme des pensions qui s’enlise progressivement. Nous proposons un cadre cohérent et un mécanisme concret pour organiser une transition progressive vers un système de pension plus simple et transparent qui offre des garanties réelles sur les pensions pour les jeunes et moins jeunes. Notre système de pension est devenu incompréhensible avec un enchevêtrement de conditions d’accès et des règles de calcul spécifiques aux différents régimes et qui posent un problème dans le cas des carrières mixtes de plus en plus fréquentes. Même dans le cas a priori le plus simple d’une pension minimum à 1500 euros net, les choses sont compliquées. Les conditions d’accès varient de 20 ans pour les fonctionnaires statutaires à 30 ans pour les fonctionnaires contractuels ou les salariés. Ensuite, le calcul des années de carrière est variable selon l’intensité de travail et selon les régimes. Il n’est pas cumulable entre régimes en cas de carrière mixte. Enfin, le montant de la pension minimum est proratisé à la durée de carrière effectivement prise en compte. Bref on a presque autant de pension minimum que l’on a de personnes potentiellement éligibles. Les gens ne s’y retrouvent plus et la méfiance s’installe insidieusement. Un progrès notable réalisé durant la dernière décennie est la plateforme MyPension.be qui offre une estimation d’un montant attendu de pension pour une personne qui approche l’âge de la retraite. Nous proposons de poursuivre la logique du Mypension.be jusqu’au bout en ouvrant un compte universel pension pour toutes et tous en cours ou en début de carrière et y compris pour ceux et celles qui sont déjà à la retraite. L’enjeu est de sécuriser les droits de pension de chacun au cours du temps par la matérialisation de ces droits au sein d’un compte universel pension (en répartition). Des sécurités sont en place qui empêchent la baisse des droits de pension au cours du temps. Un mécanisme d’indexation variable pourrait permettre la convergence des régimes. Les droits du passé sont protégés et seuls les droits futurs peuvent être modulés pour assurer la soutenabilité à long terme de nos pensions. Cette soutenabilité est réalisable moyennant des adaptations modérées mais soutenues des droits futurs de pension. Ces ajustements devraient pouvoir s’appliquer sans baisser la pension moyenne à condition de se faire au plus vite. Les plus fragiles sont protégés des «accidents de la vie» par des mécanismes de solidarité intégrés qui couvrent les périodes non prestées mais assimilables (chômage, maladie, …). Notre mécanisme du compte universel pension permet aussi d’organiser en toute cohérence une sortie progressive du marché du travail par l’intermédiaire d’une pension partielle en veillant à ne pas encourager des départs anticipés et à encourager la poursuite de l’activité par des corrections actuarielles adéquates. Il est possible de moduler le rythme de constitution des droits de pension en cours de carrière pour mieux compenser la pénibilité des métiers et les inégalités d’espérance de vie en introduisant notamment des mécanismes progressifs. Soutenabilité financière et adéquation sociale sont de ce fait parfaitement conciliables. Enfin, en cette période de Saint Valentin, il est concevable de mutualiser les droits de pension entre conjoints au travers du compte universel pension, ce qui apporte une touche additionnelle de solidarité qui est aujourd’hui absente de nos régimes de pension. Cette solidarité intra-familiale contribuerait fortement à réduire les écarts de pension entre hommes et femmes.

Le défi de l’avenir de nos pensions, un moment occulté par la crise sanitaire, revient au cœur de l’actualité. Après des décennies marquées par une succession de réformes ponctuelles, sans doute légitimes pour la plupart mais sans vision d’ensemble, nous avons plus que jamais besoin d’une vraie réforme redonnant confiance et apportant justice, simplicité et réalisme à nos pensions légales. De nombreuses enquêtes d’opinion montrent en effet que le Belge n’a plus confiance dans le système existant; il est inquiet face à son avenir de retraité et il ne comprend plus grand-chose face à la complexité croissante des règles. Les différentes «réformettes» qui ont été prises ces dernières décennies créent de la confusion et complexifient encore plus nos systèmes de pension déjà bien compliqués, en superposant à chaque réforme des dispositions nouvelles. Face à ces inquiétudes, nous ne proposons ni de procéder à une réformette de plus, ni de s’engager dans un «big bang» anxiogène, mais plus pragmatiquement d’envisager une évolution de notre pension légale vers un compte individuel pension pour mieux sécuriser et garantir les pensions présentes pour nos retraités et les pensions futures pour les jeunes. Le principe en est le suivant : un compte pension exprimé en euros est ouvert pour chaque affilié. Ce compte est alimenté chaque année de travail par un montant de pension exprimé en euros et égal au salaire brut individuel de l’année (plafonné) multiplié par un taux appelé taux d’acquisition, à fixer chaque année. C’est donc le morceau de pension qui est promérité pour l’année de travail. En cas d’inactivité professionnelle durant l’année, à l’instar des périodes assimilées dans le calcul actuel des pensions, ce compte est alimenté par un salaire imputé (plafonné) multiplié par le taux d’acquisition. Le taux d’acquisition est donc identique pour les périodes d’activité et les périodes assimilées. Le nouveau droit en euros vient s’ajouter à ce qui a déjà été constitué et qui est revalorisé.Ce mécanisme concilie sécurité et adaptation, deux qualités essentielles tout particulièrement durant cette crise sanitaire. En effet, le compte pension permet en cours de carrière de sécuriser la formation progressive des droits du passé et évite ainsi l’effet surprise en fin de carrière comme dans un système par points. Par ailleurs, et contrairement aux systèmes actuels de pension légale, cette protection du passé n’empêche pas de pouvoir, si nécessaire, ajuster les droits futurs. En fait, le compte pension permet un pilotage souple de nos dépenses de pension en dissociant clairement les droits acquis du passé de l’acquisition de nouveaux droits. Le compte pension, en dissociant les droits passés des droits futurs, permet également une transition progressive par rapport à l’existant, constituant de ce fait une évolution de nos systèmes plutôt qu’une révolution. Il permettra aussi d’envisager une harmonisation progressive entre les différents statuts de pension légale (salariés, fonctionnaires, indépendants); les systèmes fonctionneront de manière identique selon des règles communes, mais les paramètres pourront différer d’un régime à l’autre. Les éventuelles différences qui subsisteraient entre statut ne seraient plus simplement justifiées par l’histoire mais elles découleraient de différences objectives (par exemple l’absence actuelle de deuxième pilier pour les fonctionnaires statutaires). Le système permet également d’envisager plus d’équité dans la fixation de l’âge de la retraite en mettant en avant la durée de la carrière comme paramètre central plutôt qu’un âge uniforme, autorisant ceux qui entament leur carrière plus tôt, notamment les moins qualifiés, de partir à la retraite plus tôt. Il contient également de manière naturelle un mécanisme de bonus-malus pour ceux désirant anticiper leur retraite ou voulant travailler plus longtemps. Ce mécanisme permet également de prévoir de manière équitable un régime unique de pension progressive, générant une transition harmonieuse et cohérente des fins de carrière.