В работе модель пространственно-временного трансверсально-изотропного континуума используется для того, чтобы развить наиболее полный вариант вариационной модели для связных обратимых динамических процессов теплопереноса и термомеханики деформируемых сред и с наибольшей полнотой учесть связные эффекты в отношении пространственных и временных эффектов. Временная ось является осью трансверсальной изотропии. При описании полей температуры и термомеханических процессов применяемая модель 4D пространственно-временного континуума позволяет естественным образом ввести термический потенциал, в качестве которого рассматривается четвертая компонента 4D вектора перемещений. Для определения силовой модели используется принцип возможных перемещений считая, что список аргументов определяется тензором обобщенных дисторсий и вектором 4D перемещений. Решается проблема идентификации физических постоянных модели для обратимых процессов. Для этого формулируются физически обоснованные гипотезы: гипотеза парности пространственных касательных напряжений, гипотеза классической зависимости импульса от скорости, гипотеза потенциальности теплового потока (ослабленная гипотеза Фурье). Предполагается также, что закон Дюамеля-Неймана по форме имеет вид классического закона Дюамеля-Неймана, обобщенного за счет учета релаксационных эффектов в температуре, давлении и шаровом тензоре деформаций. Отметим, что использование модели пространственно-временного континуума позволило для обратимых процессов получить обобщение закона теплопроводности Максвелла-Каттанео для теплового потока. Отличительной стороной предлагаемого метода моделирования является то, что в рамках рассматриваемых моделей обобщенные законы Максвелла-Каттанео и Дюамеля-Неймана не вводятся феноменологически, а получены как уравнения совместности при исключении термического потенциала из уравнений закона Гука для температуры, теплового потока и давления.

Рассматриваются градиентные теории упругости Миндлина — Тупина, которые являются основой для теоретического описания материалов с учётом масштабных эффектов. Впервые предлагается процедура, позволяющая существенно упростить прикладные градиентные теории упругости, являющиеся основ- ным инструментом теоретического моделирования наноструктурированных материалов. Показывается, что тензоры градиентных модулей упругости представляются в виде разложения по тензорному базису пяти тензоров шестого ранга, три из которых подчиняются особому свойству, благодаря которому соот- ветствующая квадратичная форма для плотности потенциальной энергии является свёрткой векторов. Такие модели, называемые «векторными», обеспечивают классический вид статических граничных усло- вий. Это позволяет избежать характерных для градиентных теорий трудностей, связанных с реализаци- ей краевых условий на рёбрах поверхности при теоретическом и численном моделировании.

Abstract—Three material lifetime models are compared within the framework of the hypothesis of accumulation of residual strains. The models are based on the Ramberg–Osgood law, an alternative empirical law, and a so-called theoretical law constructed from the solutions of various differential equations in linear and nonlinear sections in a stress–strain curve. Postulating a linear section in a stress–strain curve is shown to automatically leads to the fact that the endurance limit is determined by the point of proportionality limit.

Построена вариационная модель градиентной анизотропной теории упругости. Её существенным отличием является то, что плотность потенциальной энергии в ней содержит наряду с тензорами модулей четвертого и шестого рангов тензор модулей пятого ранга, не обладающего никакой симметрией. Соответственно напряжения в ней зависят и от кривизн, а моментные напряжения — и от дисторсий. Уравнениями Эйлера являются три уравнения равновесия четвертого порядка. Спектр краевых задач определяется шестью парами альтернативных граничных условий в каждой неособенной точке поверхности. В каждой особенной точке поверхности (принадлежащей ребрам поверхности) в общем случае появляются дополнительные условия непрерывности вектора перемещений и вектора менисковых сил при переходе по поверхности через ребро. Для сокращения количества физических параметров, требующих экспериментального определения, постулирован частный вид структур тензоров модулей пятого и шестого рангов. Наряду с классическим тензором анизотропных модулей предложено ввести тензор модулей первого ранга (вектор размерности длины), с помощью которого из классического тензора модулей четвертого ранга тензорным умножением строится тензор пятого ранга. Тензор модулей шестого ранга строится как тензорное произведение классического тензора модулей четвертого ранга с двумя тензорами первого ранга.

Градиентные теории упругости содержат по определению масштабные параметры и поэтому, естественно, что они являются весьма привлекательными для моделирования масштабных эффектов в механике материалов с микро-наноструктурой, для исследования фазовых превращений с образованием межфазных слоев, меняющих микроструктуру материалов, модифицированных композитов с наноструктурами на волокнах, а также при исследовании связных проблем термомеханики и гидродинамики и др. Появление параметров масштаба в градиентных моделях связано с тем, что в качестве аргументов при вариационном описании таких моделей рассматриваются не только деформации, но и их градиенты. В результате, определяющие уравнения в градиентных моделях первого порядка определяются не только тензором упругих свойств четвертого ранга, но и в общем случае тензорами упругости пятого и шестого ранга, отличающихся по размерности от классических модулей упругости. В работе обсуждается симметрия тензоров модулей упругости шестого ранга при перестановке индексов дифференцирования в градиентной упругости, которая является следствием того, что вторые производные вектора перемещений не зависят от порядка дифференцирования. Отмечается, что имеют место случаи, когда для корректных постановок прикладных краевых задач необходимо использовать в краевых условиях тензоры модулей упругости шестого ранга, симметричные при перестановке индексов дифференцирования (симметричные по последним индексам моментные напряжения) даже если формально построенные варианты прикладных градиентных теорий лишены этого признака симметрии. Показано, что игнорирование свойства симметрии тензора модулей шестого ранга при перестановке индексов дифференцирования может приводить к существенным погрешностям по сравнению с корректными решениями, учитывающими этот признак.

Вариант градиентной модели с одним скалярным параметром используется для построения несингулярных решений механики трещин в ортотропной пластине. Для решений градиентной ортотропной плоской теории упругости получены представления типа Папковича-Нейбера для перемещений и напряжений через вспомогательные потенциалы, которые удовлетворяют обобщённым уравнениям типа Гельмгольца с локальным масштабным параметром, имеющим анизотропный характер. Полные решения проблемы записываются в виде суммы классических решений (полных напряжений) и сглаживающих, когезионных решений, для которых получены соответствующие выражения в терминах вспомогательных потенциалов. В случае изотропных и сильно ортотропных сред найдены явные формы когезионных решений в виде произведений радиальных множителей и комплексных степеней полуцелого индекса. Получены несингулярные аналитические решения для напряжений для полубесконечных трещин моды I и II, ориентированных в направлении главных осей ортотропии. Приведены распределения напряжений у вершины трещины в зависимости от показателей анизотропии.

The problem of tension of a plate made of a brittle material with a central through crack is considered. The traditional approach to solving the problem of strength of brittle bodies, which is based on linear fracture mechanics, is discussed. The apparatus of a generalized theory of elasticity, which is based on analyzing the state of stress in a medium element having small but finite sizes, is used to solve the problem of crack.

В работе предлагается расширение подходов градиентных теорий деформируемых сред, которое заключается в использовании фундаментального свойства решений градиентной теории упругости - ​свойства сглаживания сингулярных решений классической теории упругости, перевода их в класс регулярных не только для проблем микромеханики, где масштабный параметр оказывается порядка характерного размера микроструктуры материала, а для условно “макромеханических” проблем. В этих задачах масштабный параметр, как правило, может быть найден в результате макроэкспериментов либо численных экспериментов и не является чрезвычайно малым характерным параметром материала. Установлено путём привлечения численного трёхмерного моделирования, что даже градиентные одномерные решения позволяют уточнить характер распределения напряжений в зонах закрепления и приложения нагрузки. Показано, что дополнительные масштабные параметры градиентной теории отражают специфические краевые эффекты и могут быть связаны с характерными конструкционными геометрическими параметрами и условиями нагружения, определяющими особенности классического решения.