一、追本溯源,升维类比 你了解向量共线定理的意义和作用吗? 我们可以这样理解向量共线定理:直线上存在无数个向量(共线向量),我们通过选定直线上一个非零向量α,而其他向量b均可用a唯一表示(即存在唯一的实数λ,使得b= λa成立).这样,共线的所有向量的运算都可以转化为向量a(基本向量)的运算,就将直线上复杂的向量问题转化为有关一个向量的简单问题了.
2016年的高考数学试题力求创新,虽然题目素材都源自课本和平时的练习题,但又在原题的基础上进行了提炼、综合、改编,赋予了它们一个全新的面貌.使得同学们看似曾相识,但又要重新分析,才能解答. 例如江苏卷的第13题,考查的是向量问题,解题思路基本和平时课上讲的一样.下面笔者整理了几种解法与同学们交流.
"话说天下大势,分久必合,合久必分"——《三国演义》中的开篇语,若是用到解决向量的问题上,似乎也别有一番风味.所谓向量的"分久必合,合久必分",是指直接利用向量加减法的几何意义,即用向量三角形或平行四边形法则把向量分解成多个向量,或同时多个向量的和与差可以合成一个向量的解题方法.
有些同学在解决相对复杂的数量积问题时感觉无从下手,实际上只要掌握好三"招",即可轻松搞定数量积问题. [第一招]自乘(定义法:直接利用向量数量积公式) 所谓自乘,就是指利用向量数量积的定义,即利用α·b=|a||b| cos θ直接计算,这类问题是求数量积问题中比较简单和基础的.
三角形是我们非常熟悉的几何图形,在初中对三角形的有关知识进行了系统的学习,向量与三角形相结合,既考查了三角形的相关知识,又考查了向量知识在几何图形中的应用,能让我们充分体会数学内容之间的内在联系.本文向同学们介绍与三角形"外心"有关的向量问题的一个性质.
向量数量积问题的解题方法主要有定义法、坐标法和基底法.很多同学固守其中的某一种方法,常常会导致对有些试题无破解之法而惜败考场.基于向量的特性,其实几种方法灵活运用才是解决向量问题的最有效手段,它能很好地将问题代数化. 下面笔者就结合几道例题来谈谈具体运用.
答案 这是假的! 来源(笑话): 学霸和学渣是同学.自习课上,学霸在题海中遨游之时,学渣总是在默默地做折纸手工.有一天,学霸也对折纸有了兴趣,便央求学渣教他做折纸,学渣淡淡地说:"要学折纸也可以,但这也要看你有没有天赋,把这张A4纸对折十次以后,再找我拜师不迟."学霸折腾了半天,然后又默默去刷题了.
单位向量是长度等于1的向量.它在向量大家庭中的地位举足轻重.对有些问题,特别是关于角平分线的问题,若能根据其特点构造单位向量,就可迅速地找到解题的切人点,使解题过程简捷,几何背景直观,运算化繁为简,令人有四两拨千斤之感.
什么样的题目可以用向量解决?——向量融数、形于一体的"双重身份",使其广泛应用于函数不等式、解析几何、立体几何等知识.我们利用向量这个工具,可以简洁地解决数学中的许多问题,甚至物理中的一些问题. 一、解三角函数问题 平面向量与三角函数知识最容易联系起来,特别是平面向量的加减运算、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念和运算,与三角函数的有关运算公式、三角函数图象的性质有较强的联系.
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.向量内容已成为高中数学课程的"核心概念"之一. 一、向量体现了数学与物理的天然联系 生活中的向量随处可见:"风力3级,风向东北"、"飞机每小时向西北方向飞行900 km"、"用了 300 kg的力向上提一物体"等.向量最初被应用于物理学,很多物理量如位移、速度、加速度、力等都是向量的原型.
很多同学都喜欢阅读散文,喜欢她形散而神不散的神韵.其实数学课程又何尝不是如此呢? 跟散文一样,数学题材广泛,可以说上至天文.下到地理,无一不是数学研究的对象,华罗庚先生就说过,宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学.
伽利略曾说:"自然界这本书是用数学语言写的."数学语言当然包括很多,姑且先窥冰山一角,去欣赏一下最浅层的为大众所知的数学名词吧. 从我们第一天接触数学,第一天了解加减乘除开始,各式各样的数学名词就接踵而至.从最基本的,"数字""阿拉伯数字""负数"到逐渐学习到的"复数""抛物线"……这些名词在整个知识体系中起着至关重要的作用,有些从字面上就能理解它表达的含义,而有些,却有着独特的内涵和文化,或者需要和图形相结合方能理解.
知识,是我们认识、理解未知世界的基础和工具,也是解题的切入点. 以恒成立问题、最值问题为例,它们是高中数学中的重点内容,涉及的知识范围较广,比如函数、导数、解析几何、不等式等,相应地,解决方法也多种多样,比如函数分析法、分离变量法等,有时还要分类讨论.正是有了这些特点,我们在做题时就容易产生方法选择错误、计算效率低下、不能完整解题等现象.有时题目复杂一些,我们甚至会束手无策,只想放弃!遇到这样的问题,我们可以换个角度,从切线的角度观察这个问题,化复杂为简单,从容地加以解决.
圆锥曲线因运动而精彩纷呈.在定性证明和求最值类问题中,选取什么参变量表示运动,通过代数运算得到定值或建立目标函数呢?这里不仅是计算问题,更是算法的优化问题.本文和同学们探讨如何选取参数,简化运算.请看下面问题:
漫漫高考路,已到冲刺时,高三复习途中,一个永恒的话题再次被提起——回归课本.此时回归课本,与当初复习课本时相比,在心理上、眼界上均有很大不同,一如衣锦还乡之感,抑或君临天下之势,毕竟我等已历经风吹雨打,千锤百炼.此番回首课本,一眼瞧去,满满的收获与感悟,终将合十而道:核心概念中基本思想已然明了,例题习题背后数学方法我已看透,纵使难题纵横阡陌,我已慧眼明察,能奈我何?为何要回归课本?
一、抓住基础,厘清概念 在很多同学的心里,定义或许是高中数学学习中最易被忽略但也是最不容忽视的部分了.我们所接触到的数学定义,都是经过千锤百炼而成的,其中许多细节都饱含深意,能够用来帮助我们解决问题.例如,二次函数定义中明确指出的二次项系数不为零这一细节,常常在解题时被同学们遗漏,而出现讨论不充分的情况.
