本文给出并用三元均值不等式证明一个代数不等式,并从四个方面举例说明其广泛的应用.

文[1]给出了如下的Can-Hang不等式: 已知 a,b,c＞0,abc=1,求证:1/a2+a+1+1/b2+b+1+1/c2+c+1≥1.(1) 本文给出不等式(1)的三种加权推广及引申. 命题 1 设 a,b,c＞0,abc=1,1 ≤ λ ≤ 4,则∑ 1/λa2+a+1≥3/λ+2(2)(其中"∑"表示轮换对称和,以下同).(2) 证明:由 abc=1 可令 a=yz/x2,b=zx/y2,c=xy/z2(x,y,z＞0),则不等式(2)可化为关于x,y,z的轮换对称不等式∑x4/x4+x2yz+λy2z2≥3/λ+2.(3)

题目设x,y,z ∈ R+,且xy+yz+zx+xyz=4,证明:x+y+z ≥ xy+yz+zx.① 这是1996年越南数学奥林匹克竞赛的一道不等式试题是(参见文献[1]例3)本题对称优美、值得玩味,本文将这道竞赛题加以推广,得到如下一个新的不等式命题及若干推论.

本文从求函数的最值(或取值范围)、证明不等式(或等式)、解方程等三个方面举例说明平方法在解题中的妙用.

Nesbitt不等式:设 a,b,c >0,则 a/(b+c) + b/(c+a) +c/(a+b)≥3/2.① 这是一个对称、简洁、优美、内涵丰富、应用广泛的经典不等式,历史上曾作为1963年莫斯科数学竞赛题出现过,对它的研究(如证法、推广、加强、加细、应用等) 也历久不衰,文献[1] 给出了它的一种新推广,本文给出它的一种新推广.

定义 如图1,对于线段AB的内分点C和外分点D,若AC/CB =AD/DB,则称点C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B,C、D为调和点列. 本文介绍有心圆锥曲线(椭圆或双曲线)中与调和点列有关的一个结论,以飨读者.

在对圆锥曲线的研究中,笔者得到了关于椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质,介绍如下,以飨读者. 性质1 给定椭圆E: x2/a2+ y2/b2 = 1( a > b > 0),O 为E的中心,F 是E 的一个焦点,l 是过E 上任意一点P 所引的切线,F 在l 上的射影为Q,则OQ = a.

以圆锥曲线上的一点、一个焦点及此焦点对应的顶点(与此焦点在圆锥曲线的同一条对称轴上且距此焦点近者)为顶点的三角形称为"焦顶三角形". 本文介绍圆锥曲线"焦顶三角形"的一个有趣性质,以飨读者.

文[1]以鲜明的观点阐述了化分式不等式为整式不等式是证明分式不等式的一条重要途径,并举出了若干例子加以说明.同时,文中绝大部分例子证明得都很简洁,但其中的两例用化为整式不等式的方法来处理给人以繁冗之感,本文给出这两例的几个简证.

本文给出三元算术几何平均值不等式的另两种加细.

过圆锥曲线对称轴上一定点引直线交曲线于两点,则把以这两点为端点的线段称为曲线的轴定点弦,本文给出了圆锥曲线轴定点弦的一组有趣性质.

文献[1]、[2]给出了圆锥曲线中一类平行弦的性质,受其启发,本文再给出这一类平行弦的另外一个性质,以丰富完善对此类问题的研究讨论.

我们把垂直于圆锥曲线对称轴的一条定弦称为圆锥曲线的"定垂轴弦". 关于圆锥曲线的"定垂轴弦",笔者发现其有如下的一个有趣性质. 定理1 给定椭圆E:x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0), PQ是过定点(m,0)(|m|< a,m≠0)且垂直于x轴的"定垂轴弦",设过弦PQ上的一点M( M不在x轴上)且被M平分的E的弦为AB,则过点M且垂直于AB的直线l恒过x轴上的一定点C(e2m,0)(其中e为E的离心率).

本文利用局部换元法巧妙证明一类条件不等式,举出若干例子加以说明.

文[1]举例说明了不等式证明的六种新视角,读后受益匪浅.笔者在欣赏文中所给不等式之余,发现其中的例2证明有误,为说明问题,现将例2及证明(解析)照写如下: 文[1]中的例2 设x,y,z,t 为任意正实数,求证: x/t +3x + y/x +3y + z/y +3z + t/z +3t≤1.

Nesbitt不等式:设 a,b,c >0,则 a/b+c + b/c+a +c/a+b≥32.① 这是一道简洁、经典、应用广泛的不等式,历史上曾作为1963年莫斯科数学竞赛题出现过,对它的研究(如证法,加强,推广,应用等)也历久不衰,本文给出它的一种新推广.

本文给出了两个命题,证明了将二元基本不等式a2+b2≥2ab(或ab≤a2+b2/2)两端之间插入无穷多个式子而形成一个同向不等式的无穷长的不等式链.

2019 年呼和浩特市中考试卷中有这样一道选择题:若x1 ,x2是一元二次方程x2 +x -3=0的两个实数根,则x32 - 4x21 + 17的值为(). A. - 2 B.6 C. - 4 D.4这是一道新颖别致、值得玩味的好题,笔者对它产生了浓厚的兴趣,研究如下.