题目 (2022年全国高中数学联赛B卷加试第二题)给定正实数a,b,a＜b.设x1,x2 ,…,x2022∈[a,b],求｜x1-x2｜+｜x2-x3｜+…+｜x2021-x2022｜+｜x2022-x1｜/x1+x2+…+x2022的最大值.
1 问题提出 我校某次高三模拟考试理科第16题如下: 如图1,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2,E,F,G 分别为AA1,CC1,DD1的中点,有下列结论:
极值点偏移问题以导数为背景考察学生综合运用各类知识和思想方法解决函数问题的能力,是值得深入探究的课题,更是培养学生数学核心素养的好素材.近期,笔者在整理各地市模拟试卷时发现一类极值点偏移问题连续在三个地市出现(本文中的题 1 -3),且其中涉及到三角函数,此种不寻常现象引起笔者的关注,遂进行了一些思考,此处整理成文,与同仁交流.
在解析几何问题中,有关不等关系的探究也是十分重要的,它是解决参数或相关元素取值范围的关键举措.部分学生找不到不等式,或是建立的不等式不合理,往往造成解题错误,使待求的问题不能得到圆满解决.为此,本文通过举例分析,介绍寻找不等关系求有关范围问题的六种方法,希望能给读者朋友有所帮助.
1 课本习题 2019 年人教A版《数学必修第一册》第 87 页第13 题如下: 我们知道,函数y =f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y =f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x ＋a)-b为奇函数.
解析几何是几何的一个分支,用代数手段研究几何问题是解析几何的本质所在,需要把"直观"的几何转化为"入微"的代数,形成合适的运算思路后再着手运算.这种方法的好处是减少技巧性强的几何逻辑推理,不足之处是经常涉及繁难的运算,学生往往难以有效解决运算问题.本文就解析几何试题运算简化策略作一探析,与读者交流.
1 问题提出 对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.多项式函数是最为简单的一类函数,因此,多项式经常被用来近似地表达函数,这种近似表达在数学上称为逼近.泰勒在这方面做出了不朽的贡献.[1]
在解题教学中,试题的解法应追求自然、朴实,在渗透通性通法的同时,往往还可通过一题多解,让学生做一题,则会一类,通一片.本文以佛山市高一统测的一道二元最值问题为例,阐述如何开展自然联想的解题教学,供读者参考.
数学知识是丰富多彩的,解题方法是多种多样的,对于同一问题,思考的角度不同其解题方法也会有所不同.那么如何引导学生掌握这些多种多样的方法,并能灵活选择最佳的方法解决问题呢?为了解决这一问题,不少教师选择了"题海战术",以期通过"多讲多练"帮助学生积累解题方法和解题经验.不可否认,"题海战术"有助于解题经验的积累和解题技能的提升,但是过多地追求数量势必会占用学生思考、归纳总结的时间,不利于知识、经验和方法的内化,影响学生学习能力的提升.因此,在实际教学中,教师应在解题的质量上下功夫,要把知识讲透,方法理顺,切实提高学生解题能力.本文结合"数列的单调性与最大(小)项"复习课,谈谈对优化解题策略的几点认识.
受疫情影响,2022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨 2022 年全国高中数学联合竞赛,湖北和山东延期了两次,于 11 月 27 日顺利组织了考试.此次考试用的是A2 卷,加试的平面几何题放在了第二题的位置,增加了难度,除了答案提供的两种解法外,本文再给出两种解法.
1 案例呈现 题目 已知双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b ＞ 0)的离心率是2√3/3 ,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2=2√3/3.
一、题目呈现 (2016 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛第11题)证明:对任意实数a,b,c,都有√a2+ab+b2+√a2+ac+c2≥√3a2+(a+b+c)2,并求等号成立的充分必要条件.
新高考着重考察学生灵活运用知识解决问题的能力,在"反刷题,反套路化"方向的指引下,我们要重视知识的变通使用与综合运用.对于高考题的研究不仅要会做,还要能认识问题的本质,更要会对问题做变式推广.若能把多个知识融合使用,就能通过少量做题提升数学思维能力.本文整合数列知识把 2022 年高考全国甲卷解析几何题进行变式研究与结论推广.
作为解析几何中的经典知识背景,"手电筒模型"内容在近年的全国高考试题中频繁亮相.试题通常以斜率和积为定值,直线过定点或有定斜率的呈现形式灵活有序地在条件和结论进行合理编排,以热点和难点的试题定位吸引了一线师生和专家学者的广泛关注.
函数及其综合应用问题一直是历年高考中的一个重点考查对象,如函数的概念与图象,基本性质(单调性,奇偶性、周期性、对称性等),函数的零点及其应用等,呈现方式可以是选择题或填空题,难度可以是简答题型,也可以结合奇偶性,周期性,对称性等综合考查,难度中等,或者考查函数的零点等相关问题,结合函数的图象,运用数形结合,难度一般比较大.
观察函数的图象特征,通过直观感知,可以从中提出各种问题,为试题编制提供问题情景.然而,由于观察误差等,直观感知所得的结论,并不一定都是正确的,这就需要通过演绎推理进行操作确认.因此,试题的命制常常是通过"直观感知"提出问题,再通过"思辨论证"保障所提问题的科学性.
直观想象是数学学科中的一个基本素养,主要是借助几何(平面几何或空间几何等)直观、空间想象等来感知事物或图形的形态与变化等,进而结合图形直观来数形结合,利用逻辑推理与数学运算来分析与解决问题.而在数学解题过程中,依托直观想象,通过数形结合,可以直接用来解决一些相应的直观数学问题,"以形助形";也可以用来解决一些特殊的抽象数学问题,"以数成形".结合函数图象或几何图形的直观,达到"以形助数".本文通过数例予以说明.
直线与圆锥曲线的综合问题在考试中一直处于压轴题的位置,对于学生而言,难点主要体现在两点:一是思路不清晰,二是计算能力不足.因此在解题教学中要帮助学生分析条件找寻思路,带领学生看清本质,突破运算难点.本文以一道直线与椭圆试题为例谈谈如何帮助学生寻找思路,突破运算难点,同时充分挖掘试题展开变式探究.
