我们知道直线的参数方程在数学解题中的应用非常广泛,随着新课程实施,新高考Ⅰ卷中将原来高考卷中出现在二选一位置常考的参数方程考题删除,且新课标中将直线的参数方程放在了课后的探索与发现的位置,这样致使同学们对直线参数方程的应用比较陌生.笔者认为参数方程在新高考Ⅰ卷中依然会有所应用.基于此,本文研究了如何利用直线参数方程求解近三年新高考Ⅰ卷中的圆锥曲线大题,旨在使同学们体验直线参数方程在解决圆锥曲线问题中的应用特点,了解参数方程的适用性,拓宽同学们的解题思路,为同学们复习备考提供参考.
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的重点题型之一,该类试题通常以椭圆为背景,以平面直角坐标系为依托,考查动点或动直线与椭圆的位置关系.本文将直线与椭圆的位置关系分为五种类型,分别是过左(或右)顶点的直线与椭圆相交、过上(或下)顶点的直线与椭圆相交、过坐标原点的直线与椭圆相交、直线与椭圆相切、其他直线与椭圆相交.
在高考试题中,经常会出现"一个三角形内接于一条圆锥曲线,且该三角形的一个顶点为定点"的问题.解决此类问题的常规方法是先联立直线与圆锥曲线方程,再利用根与系数的关系进行转化和计算.但这种方法运算量较大,让很多学生望而生畏,不敢下笔.笔者发现,如果能够利用曲线系方程和该定点处的切线解题,则可以简化解题步骤,提高解题的成功率.
教材不仅是知识的载体,也是教师开展教学活动的范本,教材中的习题基础性强,不仅是教师检测教学目标和课堂效果的优秀素材,还是教师进行变式教学时取之不尽、用之不竭的资源,承载着提升学生核心素养的育人功能.在教学过程中,教师可以引导学生对一些典型问题进行深入探究,以加深学生理解,感悟数学本质,做到用数学的思维思考世界.下面笔者以人教A版选择性必修一第128页第11题为例,对其中的结论进行探究,并应用所得结论进行解题.
抛物线是高中数学的重要内容之一,特别是直线与抛物线相交的题型,因其内涵丰富、解题的灵活性强,已成为高考的重要考点,备受命题者青睐.本文归纳总结出抛物线与弦相关的"蝴蝶模型"的一个优美性质,并展示性质的相关应用,供大家参考.
我们知道,点动成线、线动成面、面动成体,在一个平面图形的翻折过程中,点、线、面随之而动,对于一些平面图形的翻折问题,从动态的角度去看,就是平面图形绕着某一条直线翻折过程中所形成的空间图形,因此平面图形的翻折问题在某种程度上看,其本质上是旋转问题.针对运动的问题,求解的关键是在关注运动过程的同时挖掘运动中的不变性,将动态的问题转化为静态问题来研究,这便是我们解决问题的突破口,抓住这一"定性"的本质,有助于我们解决空间几何的动态问题.
1 二次曲线系方程 如果两条二次曲线的方程分别为f1(x,y)=0, f2(x,y)=0,它们的交点为Pi(xi,yi),则方程f1(x,y)＋λf2(x,y)=0(λ∈R)表示的曲线为经过点Pi(xi,yi)的所有二次曲线,称为二次曲线系方程.
以三角形外心为背景的平面向量数量积问题巧妙地融合了平面几何中的三角形与圆这两个基本图形,同时隐含着对应的垂直关系,情境创新,应用性强,是平面向量与解三角形问题中热度较高的一类题型,备受各方关注.本文从不同切入点对一道题进行分析与处理,展示思维过程,拓展思维宽度.
在运用零点存在定理确定零点时,如何取点是一个公认的难题,笔者通过高考试题和笔者命制的原创题的求解分析,探究其破解策略. 1 试题呈现 例1 (2023年全国乙卷理21,节选)已知函数f(x)=(1/x＋a)ln(1＋x).若f(x)在(0,＋∞)存在极值,求a的取值范围.
与抛物线有关的定点问题是一类常见问题,也是需要学生掌握的重点问题.定点问题经常出现在抛物线与直线综合问题中,这类问题大致分为两种类别:第一类是已知定点,求过定点的直线的性质,如斜率、与抛物线交点的长度等;第二类是已知直线性质,求解定点的坐标.
圆锥曲线问题中的距离转换是解题难点之一,笔者梳理高校强基计划相关试题,概括一些转化路径,撰文分享给读者. 1 基于圆锥曲线概念转换距离 1.1 知识提要 1.2 典例精析 例1 (清华大学)已知点A(1,1),F(1,0),P是椭圆E:x2/4 ＋y2/3 =1上的动点,则|PA|＋|PF|的( ).
1 真题呈现 题目 (2023年新高考Ⅱ卷21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2 √5,0),离心率为√5. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4, 0)的直线与C的左支交于M,N两点,M 在第二象限,直线MA1 与NA2 交于点P.证明:点P在定直线上.
圆锥曲线的最值问题,尤其是距离型最小值问题,是解析几何中常考的题型,求解这类问题不仅要用到圆锥曲线的相关定义,还需利用几何性质和函数性质加以转化,那么距离型最小值问题究竟有哪些,又该如何求解呢? 本文举例说明.
高考题是命题专家智慧的体现,其中蕴含着丰富的数学思想、方法,能有效考查考生对所学知识的掌握是否牢固,应用是否灵活.对高考题的深入探究、拓展是高考备考的重要内容.本文以2022年全国甲卷中的一道椭圆题为例,对其进行寻根、拓展.
我们仔细研究了2023年全国乙卷第20题以及以往的几道高考题发现,它们都有一个共同的背景,就是与椭圆外切矩形所在直线上的点有关.我们把这样的直线称为椭圆外切矩形线.我们发现过椭圆外切矩形线上的点作直线与椭圆相交,两个交点与椭圆相应顶点连线的斜率之和及斜率的倒数之和这两者中有一个是定值.同时,逆向也有相应的结论,在此基础上能命制出众多题目.为归纳解题方法,本文用齐次化方法解答问题.
数学建模与数学探究是高中数学的重要内容,它承载着提升学生学科能力与素养的重要使命,要求学生学会用数学的眼光观察世界,用数学的思维分析世界,用数学的语言表达世界.然而,数学建模素养的养成是循序渐进的过程,需要有意渗透到各章节的内容中,逐步提高要求.
